Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Тогда дифференциальные уравнения малых колебаний системы будут
иметь следующий вид:
=++
=++
.0
..
;0
..
221222
121111
ϕ
ϕ
czcza
czcza
Частное решение этих уравнений имеет вид:
;(sin
)
+
=
α
ϕ
ϕ
k
t
A
,(sin
z
)
+
=
α
k
A
z
где A
z
и A
φ
- амплитуды главных колебаний;
k – частоты свободных колебаний;
α – начальная фаза колебаний.
Вычислим вторые производные:
; (sin-
z
2
)+=
α
ktAk
..
z
. (sin-
2
)+=
αϕ
ϕ
ktAk
..
Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения и
приравнивая к нулю коэффициенты при sin(kt + α), получим систему двух
линейных однородных алгебраических уравнений относительно А
z
, А
φ
:
Так как при колебаниях амплитуды не равны нулю одновременно, то
определитель системы должен равняться нулю:
A
z
c
12
+ A
φ
(c
22
– a
22
k ) = 0.
2
A
z
(c
11
– a
11
k ) + A
φ
c
12
= 0;
2
.0
2
222212
12
2
1111
=
−
−
kacc
ckac
Это уравнение частот после раскрытия определителя и группировки
членов примет вид:
.0)(
2
122211
2
11222211
4
1211
=
−
+
+
− ccckcacakaa
Подставив значения коэффициентов и решив полученное биквадратное
уравнение, получим значения частот свободных колебаний:
k
1
= 21,33 c
-1
; k
2
= 49,11 c
-1
. 
     Тогда дифференциальные уравнения малых колебаний системы будут
иметь следующий вид:

                                    ..
                                   a11 z + c11 z + c12ϕ = 0;
                                    ..
                                    a z + c z + c ϕ = 0.
                                    22      12       22



     Частное решение этих уравнений имеет вид:

                                       ϕ = Aϕ sin (kt + α );
                                       z = Az sin (kt + α ),

где Az и Aφ - амплитуды главных колебаний;
    k – частоты свободных колебаний;
    α – начальная фаза колебаний.
     Вычислим вторые производные:
             ..                                 ..
             z = - k 2 Az sin (kt + α );       ϕ = - k 2 Aϕ sin (kt + α ).

     Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения и
приравнивая к нулю коэффициенты при sin(kt + α), получим систему двух
линейных однородных алгебраических уравнений относительно Аz, Аφ:

                       Az(c11 – a11k2 ) + Aφc12 = 0;
                       Azc12 + Aφ(c22 – a22k2 ) = 0.
     Так как при колебаниях амплитуды не равны нулю одновременно, то
определитель системы должен равняться нулю:
                                   c11 − a11k 2     c12
                                                              = 0.
                                       c12      c22 − a22 k 2

     Это уравнение частот после раскрытия определителя и группировки

членов примет вид:

                        a11 a12 k 4 − (a11c22 + a 22 c11 )k 2 + c11c22 − c122 = 0.

     Подставив значения коэффициентов и решив полученное биквадратное
уравнение, получим значения частот свободных колебаний:

                            k1 = 21,33 c-1;          k2 = 49,11 c-1.

Страницы