ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Имеем
()
,
0
0
22112222211112
0
0
5,1
стcтстcт
сcgmссzccсzcgm
z
z
z
П
λλλϕλϕ
ϕ
ϕ
±±−±+±−− =
=
=
++=
=
=
∂
∂
ll
()
=
=
=
±++±−+⋅−=
=
=
∂
∂
0
0
222
2
2111
2
11
5,15,125,225,0
0
0
ϕ
λϕλϕ
ϕ
ϕ
z
стcт
сzсcсzссgm
z
П
lllllll
.
22111
5,125,0
стcт
ссgm
λ
λ
lll ±−= ±⋅
Следовательно, параметры системы удовлетворяют условиям
;0
22111
5,125,0 =±− ±⋅
стcт
ссgm
λ
λ
lll .0
22112
=
±
±
−
стcт
сcgm
λ
λ
Учитывая это, выражение для потенциальной энергии примет вид:
),5,125,2(
2
1
2
22
2
2
21
22
1
2
1
ϕϕϕϕ
llll zсczczссzcП ++−+ +=
или
Окончательно получаем
где коэффициенты жесткости:
[]
.)25,2()5,1()(
2
1
22
2
2
121
2
21
ϕϕ
llll cczcczccП +++−++=
),(
2
1
2
2212
2
11
ϕϕ
czczcП ++=
с
11
= с
1
+ с
2
= 1000 + 5000 = 6000 Н/м,
с
12
= -1,5с
1
ℓ+ с
2
ℓ = -1,5·1000·0,6 + 5000·0,6 = 2100 Н,
с
22
= 2,25с
1
ℓ
2
+ с
2
ℓ
2
=2,25·1000·0,6
2
+ 5000·0,6
2
= 3810 Н·м.
Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид:
;
.
z
П
z
T
z
T
dt
d
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
,
.
ϕϕ
ϕ
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
П
T
T
dt
d
где
;
.
.
22
ϕ
ϕ
a
T
=
∂
∂
;
.
.
11
za
z
T
=
∂
∂
;0=
∂
∂
ϕ
T
;0=
∂
∂
z
T
;
..
.
11
za
z
T
dt
d
=
∂
∂
;
..
.
22
ϕ
ϕ
a
T
dt
d
=
∂
∂
;
1211
ϕ
czc
z
П
+=
∂
∂
.
2212
ϕ
ϕ
czc
П
+=
∂
∂
Имеем
∂П
∂z z = 0
( )
= − m2 g + c1 z − 1,5с1lϕ ± c1λcт1 + c2 z + с2 lϕ ± с2 λст 2 z =0 = −m2 g ± c1λcт1 ± с2 λст 2 ,
ϕ =0
ϕ =0
∂П
∂ϕ z = 0
( )
= − m1 g ⋅0,25l + 2,25с1l 2ϕ −1,5с1 zl ±1,5с1lλcт1 + c2 l 2ϕ + с2 zl ± с2 lλст 2 z = 0 =
ϕ =0
ϕ =0
= −m1 g ⋅ 0,25l ± 1,5с1lλcт1 ± с2 lλст 2 .
Следовательно, параметры системы удовлетворяют условиям
− m1 g ⋅ 0,25l ± 1,5с1lλcт1 ± с2 lλст 2 = 0; − m2 g ± c1λcт1 ± с2 λст 2 = 0.
1
П = (c1 z 2 + 2,25с1l 2ϕ 2 − 1,5с1 zlϕ + c2 z 2 + c2 l 2ϕ 2 + с2 zlϕ ),
2
Учитывая это, выражение для потенциальной энергии примет вид:
или
Окончательно получаем
1
[(c1 + c2 ) z 2 + (−1,5c1l + c2 l) zϕ + (2,25c1l 2 + c2 l 2 )ϕ 2 ].
П=
2
где коэффициенты жесткости:
1
П = (c11 z 2 + c12 zϕ + c22ϕ 2 ),
2
с11 = с1 + с2 = 1000 + 5000 = 6000 Н/м,
с12 = -1,5с1ℓ+ с2ℓ = -1,5·1000·0,6 + 5000·0,6 = 2100 Н,
с22 = 2,25с1 ℓ2+ с2 ℓ2 =2,25·1000·0,62 + 5000·0,62 = 3810 Н·м.
Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид:
d ∂T ∂T ∂П d ∂T ∂T ∂П
. − =− ; . − =− ,
dt ∂ z ∂z ∂z dt ∂ ϕ ∂ϕ ∂ϕ
где
∂T ∂T ∂T . ∂T .
= 0; = 0; = a11 z; = a 22 ϕ ;
∂z ∂ϕ . .
∂z ∂ϕ
d ∂T .. d ∂T .. ∂П ∂П
= a11 z; = a 22 ϕ ; = c11 z + c12ϕ ; = c12 z + c22ϕ .
dt . dt . ∂z ∂ϕ
∂z ∂ϕ
