Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 42 стр.

наклонных площадок справедливо, что вектор полного напряжения pn лежит
в плоскости, перпендикулярной этой площадке (Рис. 1.17).

               y                                                  y




                                  pn
                                               n
                                                                                       n
 σx                          τn        σn              σx                    σn=pn=σ

      τxy                                                   τxy

                         α                                              α
                                                   x                                       x
                   τyx                                                τyx
                             σy                                             σy

        Рис. 1.17. К определению главных напряжений для плоской задачи

     Для определения главных напряжений, как и в общем случае, будем
считать, что в некоторая наклонная площадка есть площадка главных
напряжений, в которой p n = σ n = σ . Используя формулы (1.4),
определяющие проекции полных напряжений в наклонной площадке через
напряжения в координатных площадках и направляющие косинусы
наклонной площадки
      pi = σ ji n j ,
      а также то, что в главных площадках полное напряжение равно
нормальному и, следовательно:
       pi = pn ni = σ ni
      получим систему однородных линейных алгебраических уравнений
относительно направляющих косинусов. В плоском случае надо учесть, что
все касательные напряжения, имеющие в индексе z , равны нулю.
       p x = σn x = σ xx n x + τ xy n y
            p y = σn y = τ yx n x + σ yy n y
     Нетривиальное решение этой системы возможно при равенстве нулю
следующего определителя:
        σ x −σ    τ yx
     ∆=                =0
          τ xy  σ y −σ
            Развертывая определитель:
            (σ x − σ )(σ y − σ ) − τ xyτ yx = 0
            Преобразуя получим :
                                                                                               42