Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 43 стр.

     σ 2 − (σ x + σ y )σ + σ xσ y − τ xy
                                      2
                                         =0
     Откуда для ПДС:
     σ 11 ⎫ σ x + σ y 1
          ⎬=
     σ 33 ⎭     2
                     ±
                       2
                                     (σ x − σ y )2 + 4τ xy2
                                                                  (1.45)
           σ + σ 33
     σ 22 = 11      =σz
               2
      Таким образом, для плоского деформированного состояния
напряжение, действующее в направлении отсутствующей деформации,
является одновременно средним главным и средним нормальным
напряжением.
      σ z = σ cp = σ 22
      Для плоского напряженного состояния заранее нельзя сказать, что
главное напряжение, направленное вдоль оси z и равное нулю, является
средним главным. Оно может быть и максимальным и минимальным и
средним. Поэтому, в приведенных ниже формулах для плоского
напряженного состояния нижние индексы обозначают просто порядковый
номер главного напряжения:
      σ1 ⎫ σ x + σ y 1
      σ2⎭
          ⎬=
                  2
                        ±
                          2
                                 (
                            σ x − σ y 2 + 4τ xy
                                             2
                                               )
     σ3 = 0 =σ z
     Определим угол наклона площадки главных напряжений. Очевидно,
что для плоских задач направление площадки достаточно задавать одним
углом α. Действительно, поскольку n z = 0 , то n x2 + n 2y = 1 .
     Обозначив через α угол между нормалью к площадке и осью x,
получим:
      n x = cosα ; n 2y = 1 − cos 2 α ⇒ n y = sin α
     Вернемся к рассмотрению первых двух уравнений системы, полагая в
них σ ≠ 0 , тогда
      n x σ x n x + τ xy n y
          =
      n y τ yx n x + σ y n y
     преобразуя:
        τ xy        nx n y
               =
     σx −σ y       n x2 − n 2y
     с учетом
     n x = cosα ; n y = sin α ,
     cos 2 α − sin 2 α = cos 2α ; 2 sin α cosα = sin 2α получим



                                                                       43