Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 41 стр.

              σz =0                                               σx +σ y
                                                       σz =
                                                                     2


                            σy                                       σy
                     τ yx                                  τ yx
               τxy                                   τxy
       σx                                    σx

   Рис. 1.15. Плоское напряженное       Рис. 1.16. Напряженное состояние
               состояние                 при плоском деформированном
                                                    состоянии

     Напряженное состояние для ПНС и ПДС можно представить в виде
следующих тензоров:
     Для ПНС
           ⎛ σ x τ yx ⎞
     Tσ = ⎜⎜           ⎟
                       ⎟                                     (1.42)
           ⎝ τ xy  σ y ⎠
     Для ПДС
           ⎛ σ x τ yx 0 ⎞
           ⎜                 ⎟        σx +σ y
     Tσ = ⎜τ xy σ y        0 ⎟; σ z =                        (1.43)
           ⎜ 0                           2
           ⎝        0 σ z ⎟⎠
     Уравнения равновесия для плоской задачи могут быть получены из
основной системы уравнений равновесия и имеют вид:
      ∂σ x ∂τ xy        ⎫
           +       = 0;⎪
       ∂x       ∂y      ⎪
                        ⎬                                    (1.44)
      ∂τ xy ∂σ y
           +       = 0.⎪
       ∂x       ∂y      ⎪⎭
      Определим для плоских задач формулы для вычисления главных
напряжений, полученные нами ранее для общего случая.
      Ранее мы показали, что для любого напряженного состояния
существуют три взаимно перпендикулярные площадки главных напряжений.
Поскольку одна из них нам известна (площадка перпендикулярная оси z , т.е.
плоскость xOy ), то две другие будут перпендикулярны плоскости xOy или
параллельны оси z . Поскольку ось z главная, то направляющий косинус всех
этих площадок n z = 0 .
      Для площадок параллельных оси z элементарная пирамида
превращается в прямоугольную призму, основанием которой является
прямоугольный треугольник. Вид на такую элементарную призму со стороны
положительного направления оси z представлен на рисунке. Для таких


                                                                            41