Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 39 стр.

                             ∂σ ρ                                  dθ ⎫
      − σ ρ ρdθdz + (σ ρ +          dρ )( ρ + dρ )dθdz − 2σ θ dρdz    −⎪
                               ∂ρ                                   2 ⎪
                             ∂τ zρ                                     ⎪
      τ zρ ρdθdρ + (τ zρ +         dz ) ρdθdρ = 0;                     ⎪
                              ∂z                                       ⎪
                                                                       ⎬
                             ∂σ z                                      ⎪
      − σ z ρdθdρ + (σ z +         dz ) ρdθdρ − τ ρz ρdθdz +
                              ∂z                                       ⎪
                ∂τ ρz                                                  ⎪
      + (τ ρz +       dρ )( ρ + dρ )dθdz = 0.                          ⎪
                 ∂ρ                                                    ⎪⎭
      раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
                     ∂σ ρ                ∂σ ρ                           ⎫
      σ ρ dρdθdz +         ρdρdθdz +          dρ 2 dθdz − σ θ dρdzdθ +  ⎪
                      ∂ρ                  ∂ρ                            ⎪
                                          ≈0                            ⎪
        ∂τ zρ                                                           ⎪
                                                                        ⎪
      +       dzρdθdρ = 0;                                              ⎬
          ∂z                                                            ⎪
      ∂σ z                          ∂τ ρz           ∂τ ρz               ⎪
           dzρdθdρ + τ ρz dρdθdz +        ρdρdθdz +       dρ 2 dθdz = 0.⎪
       ∂z                            ∂ρ              ∂ρ                 ⎪
                                                          ≈0            ⎪⎭
     пренебрегая бесконечно малыми высших порядков и сокращая на
dV = ρdθdρdz получим дифференциальные уравнения равновесия для
осесимметричного напряженного состояния
      ∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ θ       ⎫
            +     +          = 0;⎪
       ∂ρ      ∂z       ρ        ⎪
                                 ⎬                                         (1.41)
      ∂τ ρz ∂σ z τ ρz            ⎪
            +     +     = 0.
       ∂ρ      ∂z   ρ            ⎪⎭

1.16. Плоское деформированное и плоское напряженное
    состояния
      При обработке давлением часто возникают случаи, когда деформации в
одном направлении пренебрежимо малы, по сравнению с деформациями в
других направлениях. Такое явление обычно возникает при штамповке
заготовок с вытянутой осью, когда основное течение металла происходит в
направлениях перпендикулярных этой оси, т.е. в поперечных направлениях.
      В качестве примера служат объемная штамповка шатуна, осадка
длинной призматической заготовки, гибка, когда линия гиба параллельна
длинной стороне детали. В этих случаях считают, что имеет место плоская
деформация металла в поперечных сечениях заготовки. А само напряженное
состояние называют плоским деформированным состоянием.
      При решении многих других практических задач можно считать, что в
одном из главных направлений отсутствуют напряжения. Примером служит
                                                                              39