Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 37 стр.

      В цилиндрических координатах (Рис. 1.13) напряженное состояние в
точке характеризуется тензором:
           ⎛ σ ρ τθρ τ zρ ⎞
           ⎜               ⎟
      Tσ = ⎜τ ρθ σ θ τ zθ ⎟                                     (1.39)
           ⎜               ⎟
           ⎝ τ ρz τθz σ z ⎠


                                       dθ
                          dz                                        σz

                                                            τzθ           τzρ
    Z
                                                                                τρz
                                                           τθ z M
               M                                                                      σρ
                                                 σθ
                                                           τθρ      τρθ
               z

        ρ          θ
                                                      dρ


    Рис. 1.13. Напряженное состояние в точке в цилиндрической системе
                                координат

      Ограничимся выводом уравнений равновесия для осесимметричного
напряженного состояния. Осесимметричное напряженное состояние имеет
тело вращения, к которому приложены внешние силы, действующие в
меридиональных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось симметрии)
и одинаковые для любой меридиональной плоскости. Примером могут
служить осадка цилиндрической заготовки, вытяжка цилиндрического
стакана из плоской цилиндрической заготовки и др.
      Осесимметричное        напряженное          состояние характеризуется
следующими свойствами:
      1. В силу симметрии все касательные напряжения в меридиональных
сечениях (плоскостях, проходящих через ось z, иными словами плоскостях с
индексом θ) будут равны нулю, поскольку если бы они существовали, то
вызывали бы сдвиги в меридиональных сечениях, что приводило бы к
нарушению осевой симметрии. Тогда в силу парности касательных
напряжений: τ θρ = τ ρθ = 0;   τ θ z = τ zθ = 0 .
      2. Компоненты напряжений σρ, σθ, σz, τρz отличные от нуля, в силу
                                              ∂
той же симметрии не зависят от координаты θ:    σ ij = 0
                                             ∂θ
      Следствием этих свойств является то, что осесимметричное
напряженное состояние сохраняется на всем протяжении деформирования
заготовки, а материальные точки тела, находящегося в таком состоянии,
движутся строго в меридиональных плоскостях.
                                                                                           37