Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 36 стр.

     ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx       ⎫
             +      +    = 0⎪
      ∂x         ∂y   ∂z    ⎪
     ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy       ⎪⎪
             +      +    = 0⎬                                     (1.36)
      ∂x         ∂y   ∂z     ⎪
     ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z        ⎪
             +      +    = 0⎪
      ∂x         ∂y   ∂z     ⎪⎭
     В сокращенных обозначениях эти уравнения запишутся5
     σ ij ,i = 0                                                  (1.37)
      Используя уравнения равенства моментов
      ΣMx=0;          ΣMy=0;   ΣMz=0,
      можно получить уже полученный ранее закон парности касательных
напряжений
      τzy=τyz;        τxz=τzx; τxy=τyx,
      Рассмотренные выше уравнения являются уравнениями равновесия. В
реальности частицы металла движутся с определенным ускорением, кроме
того, на металл действуют массовые силы (например, силы тяжести). В
общем случае уравнения равновесия превращаются в уравнения движения и
будут иметь следующий вид:
      σ ij ,i + ρg i = ρwi                                     (1.38)
      где g i , wi - компоненты векторов удельных массовых сил (например,
силы тяжести) и вектора ускорений.
      В большинстве реальных задач ускорениями и, особенно, массовыми
силами можно пренебречь и уравнения движения превращаются в уравнения
равновесия.       Уравнения    движения     обычно   рассматривают    для
высокоскоростных процессов, например процессов магнитно-импульсной
штамповки.
      Заметим, что для определения шести компонент напряжений (с учетом
парности касательных напряжений) имеем только три известных уравнения
равновесия (движения). Остальные уравнения, необходимые для решения
задачи, можно получить, используя физические свойства деформируемых
металлов и геометрические соотношения.
1.15. Дифференциальные уравнения равновесия для
    осесимметричного напряженного состояния
     В технологии обработки давлением часто встречаются детали,
являющиеся телами вращения. Для анализа таких технологических задач
пользуются цилиндрическими координатами ρ, θ, z.


5
  Запятая в сокращенной записи обозначает частную производную по
индексу, стоящему после запятой.
                                                                       36