Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 35 стр.

окрестность считаем бесконечно малой. Тогда компоненты тензора
напряженного состояния в точке М', находящейся на бесконечно малом
удалении от точки М можно представить как:
                         ∂σ ij      ∂σ ij      ∂σ ij
      σ ij    = σ ij   +       dx +       dy +       dz     (1.34)
           M'        M    ∂x M       ∂y M       ∂z M
     В этом выражении членами, в которых индекс площадки не совпадает с
                        ∂σ yx
приращением (например          dx ) можно пренебречь. Иными словами
                         ∂x M
считаем, что приращение каждого напряжения выражается частным
дифференциалом по той координате, в направлении которой переместилась
площадка действия данного напряжения. Тогда напряженное состояние в
точке М' будет представлено следующим тензором:
                ⎛       ∂σ x              ∂τ yx             ∂τ      ⎞
                ⎜σx +         dx τ yx +         dy τ zx + zx dz ⎟
                ⎜         ∂x               ∂y                ∂z     ⎟
                ⎜       ∂τ xy             ∂σ y              ∂τ zy ⎟
      Tσ M ' = ⎜τ xy +        dx σ y +          dy τ zy +        dz ⎟           (1.35)
                ⎜         ∂x               ∂y                ∂z     ⎟
                ⎜       ∂τ xz             ∂τ yz             ∂σ z ⎟
                  τ
                ⎜ xz  +       dx   τ yz +       dy σ z +         dz ⎟
                ⎝         ∂x               ∂ y               ∂ z    ⎠
      Если пренебречь массовыми силами, то тело должно находиться в
равновесии. Тогда сумма проекций сил, действующих на параллелепипед на
каждую из координатных осей должна равняться нулю:
      ΣХ=0; ΣY=0; ΣZ=0;
      Рассмотрим первое уравнение равновесия.
      Приравнивая к нулю сумму проекций сил на ось x , находим (сила,
действующая в площадке равна произведению напряжения на площадь
площадки):
              ∂σ x                               ∂τ yx
      (σ x +        dx)dydz − σ x dydz + (τ yx +       dy )dxdz − τ yx dxdz +
               ∂x                                 ∂y
                                                                              .
                ∂τ zx
      + (τ zx +       dz )dxdy − τ zx dxdy = 0
                  ∂z
      Раскрыв скобки, приведя подобные члены, и поделив на dV=dxdydz,
найдем
      ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx
            +        +        = 0.
       ∂x       ∂y       ∂z
      Аналогично получим два других уравнения. Окончательно система
дифференциальных уравнений равновесия в декартовой системе координат
примет вид:




                                                                                   35