Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 76 стр.

               σ cp
      ε cp =       ,                                                       (2.62)
              3K
             1                      1      1
      ε cp = (ε1 + ε 2 + ε 3 ) = ε ii = I1 (Tε ) ,
             3                      3      3
              1                       1       1
      σ cp = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = σ ii = I (Tσ )
              3                       3       3
      Объемный закон Гука может быть получен из координатной формы
сложением первых трех уравнений:
                      [   1
                          E
                                                        ]
      ε x + ε y + ε z = σ x + σ y + σ z − 2µ (σ x + σ y + σ z )            (2.63)
      Связь между физическими константами E – модуль упругости 1-го
рода, µ – коэффициент Пуассона, G – модуль упругости 2-го рода (модуль
сдвига), K – объемный модуль упругости
                 E                       E
      3K =             ;        2G =                                       (2.64)
             1 − 2µ                   1+ µ
      Выполним еще одно преобразование:
                                                1 − 2µ
      ε x − ε cp = (σ x − µ (σ y + σ z )) −
                     1
                                                       σ cp =
                     E                             E
                 = (σ x − σ cp − µ (σ y + σ z ) + 2 µσ cp ) =
                     1
                     E                                                     (2.65)
                 = (σ x − σ cp − µ (σ y + σ z − 2σ cp )) =
                     1
                     E
                                                       1+ µ
                 = (σ x − σ cp − µ (σ cp − σ x )) =          (σ x − σ cp )
                     1
                     E                                   E
      ε x − ε cp = e xx ,       σ x − σ cp = s xx
      Здесь exx, sxx – компоненты девиатора деформаций и девиатора
напряжений соответственно.
      В общем виде в девиаторной форме – в виде зависимости между
девиаторами деформаций и напряжений обобщенный закон Гука принимает
вид:
             sij
      eij =      , i, j = x, y, z или                                      (2.66)
             2G
             sij
      ε ij =      + δ ij ε cp ,                                            (2.67)
             2G
      Символ Кронекера δ ij = 1 при i=j, δ ij = 0 при i≠j
      Для плоского напряженного состояния:
      σ z = 0,τ zx = τ zy = τ xz = τ yz = 0
      Откуда:



                                                                              76