Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 75 стр.

                                                                σ           ε
                         σ         ε




                                                      Очаг деформации
                Очаг деформации

Рис. 2.9. Выдавливание                   Рис. 2.10. Волочение
2.11. Зависимости между напряжениями и деформациями в
    упругой области. Обобщенный закон Гука
      Внешние силы, действующие на тело, вызывают перемещения его
точек. Таким образом, напряженное и деформированное состояние тела
взаимосвязано.
      Уравнения связи между компонентами тензора напряжений и тензора
деформаций носят название физических уравнений связи напряженного и
деформированного состояний (иногда их называют определяющими
соотношениями).
      Физические уравнения до настоящего времени являются не законами, а
гипотезами, в большей или меньшей степени подтвержденными
экспериментом. Иными словами эти уравнения – феноменологические.
      Наиболее простым примером таких уравнений является связь между
напряжениями и деформациями при упругом деформировании изотропного
материала. Эти уравнения носят названия обобщенного закона Гука.
      Первоначально закон Гука был сформулирован для одноосного
растяжения в виде прямо пропорциональной зависимости между
напряжениями и деформациями. Коэффициент пропорциональности назвали
модулем упругости.
      σ 1 = Eε 1 ,                                                     (2.60)
      где σ 1 , ε 1 - напряжения и деформации в направлении оси образца.
      Было также замечено, что упругие деформации в одном направлении
вызывают деформации в двух других направлениях, составляющих с первым
прямоугольную систему координат.
      ε 2 = ε 3 = − µε 1 , где µ – коэффициент Пуассона.
      В общем виде для произвольных площадок в координатной форме
                 [  E
                     1
                             (    )]
            εx = σ x − µ σ y +σ z ;
                                                 ⎫
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                 [   1
                                   ]
            ε y = σ y − µ (σ x + σ z ) ;
                    E
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                 ⎬                     (2.61)
                 [  E
                     1
                             (    )]
            εz = σ z − µ σ x +σ y ;              ⎪
                                                 ⎪
              τ xy            τ yz          τ zx ⎪
      γ xy =        ; γ yz =       ; γ zx =     ;
               G               G             G ⎪⎭
      Изменение объема подчиняется объемному закону Гука:
                                                                          75