Компьютерная математика: Часть 1. Теория множеств и комбинаторика. Волченская Т.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

24
D
2
Ф
D
3
D
5
|M ∪ Ф⏐=⏐M⏐+⏐Ф⏐–⏐M ∩ Ф⏐. Следовательно, ⏐M ∩Ф⏐= . . . . . . . . . . . . .
. Только математический кружок посещают . . . . . . . . . . … . .учащихся.
Ответ: a). . . . . . б) . . . . . . .
2. Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 300
и не делящихся ни на одно из чисел 2, 3 и 5.
Решение
Введем следующие обозначения: пусть D
2
– множество чисел, кото-
рые делятся на 2, т. е.
⏐D
2
⏐= 150; D
3
– множество чисел, которые делятся
на 3, т. е.
⏐D
3
⏐= 100. Аналогично, D
5
– множество чисел, которые делятся
на 5, т. е.
⏐D
5
⏐= 60. Количество чисел, которые одновременно делятся на 2
и на 3 равно 50, т. е.
⏐D
2
∩ D
3
⏐= 50 (рис.
20). Аналогично,
⏐D
2
∩ D
5
⏐= 30, ⏐D
5
∩
D
3
⏐= = 20, ⏐D
2
∩ D
3
∩ D
5
⏐= 10. Найдем
количество чисел, которые делятся хотя
бы на одно из чисел 2, 3 или 5 по формуле
включения– исключения:
⏐D
2
∪ D
3
∪
∪ D
5
⏐= ⏐. . . . ⏐ + ⏐. . . . . ⏐ + ⏐ . . . . . ⏐ - ⏐ .
. . . . . . . .
⏐ -⏐. . . . . . ⏐ - ⏐. . . . . . . . ⏐ + ⏐. . .
. . . . . . . . .
⏐ = . . . . . . . . . . Следовательно,
число целых положительных чисел, не
превосходящих 300 и не делящихся ни на одно из чисел 2, 3 и 5 = . . . . . . . . .
. . . ..
Рис. 20
3. a) сколько чисел в первой сотне, которые не делятся нацело ни на
3, ни на 5? б) сколько чисел в первой сотне, которые делятся нацело на 3 и
не делятся на 5? в) сколько чисел в первой сотне, которые делятся нацело
на 5 и не делятся на 3? г) сколько чисел в первой сотне, которые делятся
нацело либо на 5, либо на 3 и не делятся на 15?
Решение
Введем следующие обозначения: пусть
D
3
– множество чисел, которые делятся на 3,
т. е.
⏐D
3
⏐=. . . . .; D
5
– множество чисел, кото-
рые делятся на 5, т. е.
⏐D
5
⏐=. . . . . . (рис. 21).
Количество чисел, которые одновременно
делятся на
Рис. 21
3 и на 5 равно . . . . ., т. е.
⏐D
3
∩ D
5
⏐= . . . . .. а) найдем количество чисел,
которые делятся хотя бы на одно из чисел 3 или 5 по формуле включения–
исключения:
⏐D
3
∪ D
5
⏐= ⏐. . . . ⏐ + ⏐. . . . . ⏐ ⏐ – ⏐ . . . . . . . . . ⏐ = . . . . . . . . . .
D
3
D
5
100 
|M ∪ Ф⏐=⏐M⏐+⏐Ф⏐–⏐M ∩ Ф⏐. Следовательно, ⏐M ∩Ф⏐= . . . . . . . . . . . . .
. Только математический кружок посещают . . . . . . . . . . … . .учащихся.
         Ответ: a). . . . . . б) . . . . . . .
         2. Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 300
и не делящихся ни на одно из чисел 2, 3 и 5.
                                               Решение
         Введем следующие обозначения: пусть D2 – множество чисел, кото-
рые делятся на 2, т. е. ⏐D2⏐= 150; D3 – множество чисел, которые делятся
на 3, т. е. ⏐D3⏐= 100. Аналогично, D5 – множество чисел, которые делятся
на 5, т. е. ⏐D5⏐= 60. Количество чисел, которые одновременно делятся на 2
                                              и на 3 равно 50, т. е. ⏐D2 ∩ D3⏐= 50 (рис.
                                              20). Аналогично, ⏐D2 ∩ D5⏐= 30, ⏐D5 ∩
               D2                             D3⏐= = 20, ⏐D2 ∩ D3 ∩ D5⏐= 10. Найдем
                                              количество чисел, которые делятся хотя
                            D5
                                              бы на одно из чисел 2, 3 или 5 по формуле
                                              включения– исключения: ⏐D2 ∪ D3 ∪
             Ф                                ∪ D5⏐= ⏐. . . . ⏐ + ⏐. . . . . ⏐ + ⏐ . . . . . ⏐ - ⏐ .
             D3                               . . . . . . . . ⏐ -⏐. . . . . . ⏐ - ⏐. . . . . . . . ⏐ + ⏐. . .
                                              . . . . . . . . . ⏐ = . . . . . . . . . . Следовательно,
                                              число целых положительных чисел, не
превосходящих 300 и не делящихся ни на одно из чисел 2, 3 и 5 = . . . . . . . . .
. . . ..

            Рис. 20
       3. a) сколько чисел в первой сотне, которые не делятся нацело ни на
3, ни на 5? б) сколько чисел в первой сотне, которые делятся нацело на 3 и
не делятся на 5? в) сколько чисел в первой сотне, которые делятся нацело
на 5 и не делятся на 3? г) сколько чисел в первой сотне, которые делятся
нацело либо на 5, либо на 3 и не делятся на 15?
                Решение
                                                                                        100
       Введем следующие обозначения: пусть
D3 – множество чисел, которые делятся на 3,
т. е. ⏐D3⏐=. . . . .; D5 – множество чисел, кото-                           D5
                                                            D3
рые делятся на 5, т. е. ⏐D5⏐=. . . . . . (рис. 21).
Количество чисел, которые одновременно
делятся на          Рис. 21
3 и на 5 равно . . . . ., т. е. ⏐D3 ∩ D5⏐= . . . . .. а) найдем количество чисел,
которые делятся хотя бы на одно из чисел 3 или 5 по формуле включения–
исключения: ⏐D3 ∪ D5⏐= ⏐. . . . ⏐ + ⏐. . . . . ⏐ ⏐ – ⏐ . . . . . . . . . ⏐ = . . . . . . . . . .

                                                  24

Страницы