Компьютерная математика: Часть 1. Теория множеств и комбинаторика. Волченская Т.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

38
Рис. 34
2.3. Свойства отношений
Пусть
ρ – отношение на множестве A.
Тогда а)
ρ рефлексивно, если x ρ x для ∀ x ∈ A;
б)
ρ симметрично, если x ρ y влечет y ρ x;
в)
ρ транзитивно, если x ρ y и y ρ z влечет x ρ z;
г)
ρ антисимметрично, если x ρ y и y ρ x влекут x = y.
Пример 1. Пусть
ρ = {(x, y) : x, y ∈N и x – делитель y}, N = = 1, 2, ¾
…, 9.
В явном виде
ρ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ¾ …, (1, 9), (2, 2), (2, 4), (2, 6),
(2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9)}.
Тогда
ρ
– рефлексивно, так как x/x = 1 для всех x
∈ N;
– несимметрично, поскольку 2 – делитель 4, то 4 не является делите-
лем 2;
– транзитивно, так как (2, 4) и (4, 8) влечет (2, 8);
– антисимметрично, так как если x/y
∈ N и y/x ∈ N, то x = y.
Пример 2. Пусть P – множество всех людей, A и S определяются cле-
дующим образом: A = {(x, y) : x, y
∈ P и x – предок y} S = {(x, y) ∈ P и x и y
имеют одних и тех же родителей}.
Очевидно, что A транзитивно, а S рефлексивно, симметрично и тран-
зитивно.
D
ℜ
ℜ
D 
                                   D
  ℜ                                                      ℜ




                         D

        Рис. 34

                           2.3. Свойства отношений

        Пусть ρ – отношение на множестве A.
        Тогда а) ρ рефлексивно, если x ρ x для ∀ x ∈ A;
               б) ρ симметрично, если x ρ y влечет y ρ x;
               в) ρ транзитивно, если x ρ y и y ρ z влечет x ρ z;
             г) ρ антисимметрично, если x ρ y и y ρ x влекут x = y.
        Пример 1. Пусть ρ = {(x, y) : x, y ∈N и x – делитель y}, N = = 1, 2, ¾
…, 9.
       В явном виде ρ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ¾ …, (1, 9), (2, 2), (2, 4), (2, 6),
(2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9)}.
       Тогда ρ
       – рефлексивно, так как x/x = 1 для всех x ∈ N;
        – несимметрично, поскольку 2 – делитель 4, то 4 не является делите-
лем 2;
       – транзитивно, так как (2, 4) и (4, 8) влечет (2, 8);
       – антисимметрично, так как если x/y ∈ N и y/x ∈ N, то x = y.
       Пример 2. Пусть P – множество всех людей, A и S определяются cле-
дующим образом: A = {(x, y) : x, y ∈ P и x – предок y} S = {(x, y) ∈ P и x и y
имеют одних и тех же родителей}.
       Очевидно, что A транзитивно, а S рефлексивно, симметрично и тран-
зитивно.




                                         38

Страницы