Надежность электроснабжения. Волков Н.Г. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

каф. ЭСПП ЭЛТИ ТПУ
94
4.1.1. Процессы отказов и восстановлений одноэлементной схемы
Положим, что процесс отказов и восстановлений элемента обладает свойствами
марковского случайного процесса. Если процесс, протекающий
в физической системе со счетным множеством состояний и непрерывным временем,
является марковским, то его можно описать обыкновенными дифференциальными
уравнениями, в которых неизвестными являются вероятности состояний.
Рассмотрим элемент, который может находиться в двух состояниях:
0 – безотказной работы, 1 – состоянии отказа (восстановления). Определим соответ-
ствующие вероятности состояний элемента Р
0
(t), Р
1
(t) в произвольный момент време-
ни t при различных начальных условиях. Эту задачу решим при условии, что поток
отказов простейший с интенсивностью отказов
λ = const и восстановлении µ = const, закон распределения времени между отказами (час-
тота отказов)
e
tа
tλ
λ)(
−
= , время восстановления описывается также показательным зако-
ном распределения с параметром µ, т. е.
e
t
a
tµ
в
µ)(
−
= .
Для любого момента времени сумма вероятностей Р
0
(t) + Р
1
(t) = 1 – вероят-
ность достоверного события. Зафиксируем момент времени t и найдем вероятность Р
0
(t + ∆t) того, что в момент t + ∆t элемент находится в работе. Это событие осуществ-
ляется при выполнении двух условий.
1. В момент t элемент находился в состоянии
0 и за время ∆t не произошло от-
каза. Вероятность работы элемента определяется по правилу умножения вероятностей
независимых событий. Вероятность того, что в момент t элемент был в состоянии
0,
равна Р
0
(t). Вероятность того, что за время ∆t он не отказал, равна е
-λ∆t
. С точностью до
величины высшего порядка малости можно записать
.λ1...
2
λ1
2
2
λ
λ
tt
t
e
t
∆−≅−
∆
+∆−=
∆−
(4.1)
Поэтому вероятность этой гипотезы будет равна произведению Р
0
(t)(1-λ∆t).
2. В момент времени t элемент находился в состоянии
1 (в состоянии восста-
новления), за время ∆t восстановление закончилось и элемент перешел в состояние
0.
Эту вероятность также определим по правилу умножения вероятностей независимых
событий. Вероятность того, что в момент времени t элемент находился в состоянии
1,
равна Р
1
(t). Вероятность того, что восстановление закончилось, определим через ве-
роятность противоположного события, т. е. 1 – е
-µ∆t
≅ µ∆t. Следовательно вероятность
второй гипотезы равна Р
1
(t) µ∆t.
Вероятность рабочего состояния элемента в момент (t + ∆t) определяется веро-
ятностью суммы независимых несовместимых событий при выполнении обеих гипо-
тез:
t
t
t
t
t
t
P
P
Р
∆
+
∆
−
=∆+
µ
)()
λ
1)(()(
100
(4.2)
или

Страницы