Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
i ( θ |X ) =
Z
X
∂ ln p (x |θ)
∂θ
2
p (x |θ) dµ(x) =
−
Z
X
∂
2
ln p (x |θ)
∂θ
2
p (x |θ) dµ(x).
ϑ → θ.
Θ ⊆ R
m
,
P = {P ( ·|θ ), θ ∈ Θ},
P
µ g(x; θ), x ∈ X,
t ∈ Θ.
g
g
0
: X × Θ → R
m
,
Z
X
[ g(x ; θ + ∆θ) − g(x ; θ) − ( g
0
(x ; θ), ∆θ ) ]
2
dP = o( k∆θ k
2
), ∆θ → 0.
ln p( x |ϑ)
i(ϑ |X)
ϑ = θ,
θ T ( X ),
ϑ → θ
 ÷àñòíîñòè, êîãäà θ  âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð,
                               Z                     2
                                     ∂ ln p (x | θ)
               i(θ|X) =                                    p (x | θ) dµ(x) =
                               X          ∂θ
                       ∂ 2 ln p (x | θ)
                           Z
                       −                p (x | θ) dµ(x).
                     X       ∂θ 2
  Òî÷å÷íàÿ èíôîðìàöèÿ îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü óáûâàíèÿ ðàçëè÷àþùåé èí-
ôîðìàöèè ïðè ϑ → θ.
  Ïðè èññëåäîâàíèè ñîîòíîøåíèé ìåæäó ðàçëè÷àþùåé è òî÷å÷íîé èíôîð-
ìàöèÿìè, êîãäà Θ ⊆ Rm , îïðåäåëÿþùóþ ðîëü èãðàþò òàê íàçûâàåìûå
óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè P = {P ( ·| θ ), θ ∈ Θ}, ïðè
âûïîëíåíèè êîòîðûõ ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò (òî÷íåå, ñåìåéñòâî P )
íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì. ×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ýòè óñëîâèÿ, ââåäåì ñíà-
÷àëà íîâîå îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè èíòåãðèðóåìîé ñ êâàäðàòîì
(ïî ìåðå µ ) ôóíêöèè g(x; θ), x ∈ X,
t ∈ Θ.
   Ôóíêöèÿ g íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì,
åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ñ êâàäðàòîì âåêòîðíîçíà÷íàÿ
ôóíêöèÿ g 0 : X × Θ → Rm , ÷òî
  Z
                                                       2
     [ g(x ; θ + ∆θ) − g(x ; θ) − ( g 0 (x ; θ), ∆θ ) ] dP = o( k ∆θ k2 ), ∆θ → 0.
  X
  Ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, åñëè ôóíêöèÿ
ln p( x | ϑ) äèôôåðåíöèðóåìà â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì è ìàòðè÷íàÿ ôóíê-
öèÿ i(ϑ | X) íåâûðîæäåíà è íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
ϑ = θ,
  Çàìå÷àíèå 3.1.      Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äàííîå îïðåäåëåíèå ïðåäñòàâ-
ëÿåò îäèí èç âàðèàíòîâ óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðè-
ìåíòà. Ýòè óñëîâèÿ îáåñïå÷èâàþò âîçìîæíîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî
ïàðàìåòðó θ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ëþáîé ñòàòèñòèêè T ( X ), îáëà-
äàþùåé êîíå÷íûì ìîìåíòîì âòîðîãî ïîðÿäêà.

  Ëåììà 3.1. Åñëè ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò ðåãóëÿðåí, òî ïðè                 ϑ→θ




                                            31

Страницы