Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J ( θ, θ + ∆θ |X )
I (θ, ϑ |X) > 0 J (θ, ϑ |X) > 0
θ, ϑ ∈ Θ. I (θ, ϑ |X) = 0
p (x |θ) = p (x |ϑ) x µ.
J (θ, ϑ |X) = 0
U (θ) ϑ = θ, p (x |ϑ)
C(x) ϑ ∈ U (θ)
x, µ
P ( ·|ϑ) η ln η,
η = p ( X |θ)/p ( X |ϑ). 2
T = T (X) (X, A)
(T, C). I(θ, ϑ |X)
> I(θ, ϑ |T ),
T P.
J (θ, ϑ |X) ϑ, U (θ)
ϑ = θ.
q(t), t ∈ T, T
 äàëüíåéøåì áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ èìåííî ýòîò âèä J ( θ, θ + ∆θ | X ) òî-
÷å÷íîé èíôîðìàöèè.

  3.2. Ñâîéñòâà ìåð èíôîðìàöèè.                      Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì íåñêîëü-
êî ïðåäëîæåíèé, ïîñâÿùåííûõ çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâàì ââåäåííûõ ìåð
èíôîðìàöèè (íàïîìíèì, ÷òî íîñèòåëè âñåõ ðàñïðåäåëåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé
ìîäåëè ïîëàãàþòñÿ îäèíàêîâûìè).

  Ïðåäëîæåíèå 3.1. Ôóíêöèè           I (θ, ϑ | X) > 0 è J (θ, ϑ | X) > 0 ïðè ëþ-
áûõ θ, ϑ ∈ Θ. Ðàçëè÷àþùàÿ èíôîðìàöèÿ I (θ, ϑ | X) = 0 òîãäà è òîëüêî

òîãäà, êîãäà p (x | θ) = p (x | ϑ) äëÿ ïî÷òè âñåõ x ïî ìåðå µ. Ôèøåðîâñêàÿ

èíôîðìàöèÿ J (θ, ϑ | X) = 0 òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ

îêðåñòíîñòü     U (θ)   ϑ = θ, ÷òî p (x | ϑ) ïðèíèìàåò îäíî è òî æå çíà-
                        òî÷êè

÷åíèå C(x) ïðè ëþáîì ϑ ∈ U (θ) ñ âîçìîæíûì íåðóøåíèåì ýòîãî óñëîâèÿ

òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ x, èìåþùèõ â ñîâîêóïíîñòè íóëåâóþ µ ìåðó.


  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñïðàâåäëèâîñòü ñôîðìóëèðîâàííûõ óòâåðæäåíèé,
îòíîñÿùèõñÿ ê ôèøåðîâñêîé èíôîðìàöèè, î÷åâèäíà. Äëÿ ðàçëè÷àþùåé
èíôîðìàöèè âñ¼ ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Éåíñåíà, ïðèìåíåííîãî ê ñðåä-
íåìó çíà÷åíèþ ïî ðàñïðåäåëåíèþ P ( · | ϑ) ê âûïóêëîé ôóíêöèè η ln η, ãäå
η = p ( X | θ)/p ( X | ϑ).        2

  Ïðåäëîæåíèå 3.2. Ïóñòü              T = T (X)        ñòàòèñòèêà íà   (X, A)   ñ èçìåðè-

ìûì ïðîñòðàíñòâîì çíà÷åíèé            (T, C).   Ðàçëè÷àþùàÿ èíôîðìàöèÿ           I(θ, ϑ | X)
> I(θ, ϑ | T ), ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êî-
ãäà T  äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè P.  ñëó÷àå

ðåãóëÿðíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ (âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Ëåììû

3.1) àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ôèøåðîâñêîé èíôîðìàöèè

J (θ, ϑ | X)   ïðè âñåõ   ϑ,   ïðèíàäëåæàùèõ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè           U (θ)   òî÷êè

ϑ = θ.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ïðåäëîæåíèÿ
òîëüêî äëÿ ðàçëè÷àþùåé èíôîðìàöèè, èáî äëÿ ôèøåðîâñêîé èíôîðìàöèè
àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç Ëåììû 3.1 (ñì. Çàìå÷àíèå 3.1 è ôîð-
ìóëó (3.3)).
  Ïóñòü q(t), t ∈ T,  ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñòàòèñòèêè T ïî íåêîòîðîé ìåðå

                                                33

Страницы