Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 256 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

r + s − 2 p
i ·
p
·j
, i =
1, . . . , r, j = 1, . . . , s
P
r
1
p
i ·
=
P
s
1
p
·j
= 1,
r + s p
r ·
p
·s
,
r + s − 2 X
2
n → ∞ rs −1
ˆp
i ·
=
ν
i ·
n
, ˆp
·j
=
ν
·j
n
, i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s,
X
2
,
ˆ
X
2
= n
X
i,j
(ν
ij
− ν
i ·
ν
·j
/n)
2
ν
i ·
ν
·j
= n
Ã
X
i,j
ν
2
ij
ν
i ·
ν
·j
− 1
!
,
rs −(r + s −2) −1 =
(r −1)(s − 1)
ˆ
X
2
(X, Y )
(X
1
, Y
1
), . . . , (X
n
Y
n
).
X
2
X Y
3
0
.
s ≥ 2
r ≥ 2
n
1
, . . . , n
s
p =
(p
1
, . . . , p
r
),
X
r
1
p
i
= 1,
p ν
ij
i j
òîëüêî â ñëó÷àå èçâåñòíûõ çíà÷åíèé r + s − 2 ïàðàìåòðîâ p i · è p · j , i =
                                         P          P
1, . . . , r, j = 1, . . . , s (íàïîìíèì, r1 p i · = s1 p · j = 1, òàê ÷òî ñ ïîìîùüþ
ýòèõ ñîîòíîøåíèé äâà èç r + s ïàðàìåòðîâ, íàïðèìåð, p r · è p · s , ìîæíî
âûðàçèòü ÷åðåç îñòàëüíûå r + s − 2 ïàðàìåòðîâ).  ýòîì ñëó÷àå X 2 èìååò
â ïðåäåëå (n → ∞) õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå ñ rs − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
    Êîíå÷íî, âñÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòè ïàðàìåòðû íåèçâåñòíû.
Îêàçûâàåòñÿ, îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
                    νi·              ν·j
               p̂ i · = , p̂ · j =         , i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s,
                     n                 n
ýòèõ ïàðàìåòðîâ àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû îöåíêàì ïî ìåòîäó ìèíè-
ìóìà ñòàòèñòèêè X 2 , è ïîýòîìó ïîäñòàíîâêà â ïðàâóþ ÷àñòü (1) ýòèõ îöåíîê
ïðèâîäèò ê ñòàòèñòèêå
                                                        Ã                      !
                    X (ν ij − ν i · ν · j /n)2             X ν 2ij
           X̂ 2 = n                              =n                          −1 ,
                    i,j
                                 ν i · ν · j                 i,j
                                                                 ν i · ν · j


ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé åñòü õè-êâàäðàò ñ rs − (r + s − 2) − 1 =
(r − 1)(s − 1) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
   Åñòåñòâåííî, ñòàòèñòèêó X̂ 2 ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðîâåðêè íåçàâè-
ñèìîñòè êîìïîíåíò äâóìåðíîãî âåêòîðà (X, Y ), è ïðè ýòîì òàáëèöà ñîïðÿ-
æåííîñòè ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòîòíûå äàííûå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû
äâóìåðíîé âûáîðêè (X1 , Y1 ), . . . , (Xn Yn ). Ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì íîð-
ìèðîâàííàÿ ñòàòèñòèêà X 2 ìîæåò ñëóæèòü ìåðîé çàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ
(èëè êîìïîíåíò X è Y ñëó÷àéíîãî âåêòîðà).

    30 . Êðèòåðèé îäíîðîäíîñòè õè-êâàäðàò. Àíàëèçèðóþòñÿ äàí-
íûå s ≥ 2 íåçàâèñèìûõ ìóëüòèíîìèàëüíûõ ñõåì èñïûòàíèé ñ îäèíàêî-
âûì ÷èñëîì r ≥ 2 âîçìîæíûõ èñõîäîâ è ñîîòâåòñòâóþùèìè îáúåìàìè
n1 , . . . , ns íàáëþäåíèé â êàæäîé ñõåìå. Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà îäíîðîäíî-
ñòè: âñå ñõåìû      Xr èñïûòàíèé èìåþò îäèíàêîâûé âåêòîð âåðîÿòíîñòåé p =
(p1 , . . . , pr ),    pi = 1, ïîÿâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ èñõîäîâ, ïðè÷åì çíà-
                     1
÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà p íå èçâåñòíû. Îáîçíà÷àÿ ν ij ÷àñòîòó ïîÿâëåíèÿ
i-ãî èñõîäà â j -îì èñïûòàíèè, ïðåäñòàâèì äàííûå íàáëþäåíèé â âèäå òà-
áëèöû, àíàëîãè÷íîé òàáëèöå ñîïðÿæåííîñòè ïðèçíàêîâ




                                        256

Страницы