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s ≥ 2
r ≥ 2
n sr
1 2 ··· s
1 ν
11
ν
12
··· ν
1s
ν
1 ·
2 ν
21
ν
22
··· ν
2s
ν
2 ·
r ν
r1
ν
r2
··· ν
rs
ν
r ·
ν
·1
ν
·2
··· ν
·s
n
ν
i ·
=
s
X
j=1
ν
ij
, ν
·j
=
r
X
i=1
ν
ij
,
X
2
p
ij
i
j i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s.
p
ij
= p
i ·
p
·j
,
p
i ·
=
s
X
j=1
p
ij
, p
·j
=
r
X
i=1
p
ij
i = 1, . . . , r j = 1, . . . , s.
X
2
=
X
i,j
(ν
ij
− n p
i ·
p
·j
)
2
n p
i ·
p
·j
, (1)
rs
X
2
òèì âûÿñíèòü, ñóùåñòâóåò ëè çàâèñèìîñòü ìåæäó öâåòîì âîëîñ è öâåòîì
ãëàç. Ìû ðàçëè÷àåì s ≥ 2 óðîâíåé ïåðâîãî ïðèçíàêà (íàïðèìåð, áëîíäèí,
áðþíåò, øàòåí è ðûæèé) è r ≥ 2 óðîâíåé âòîðîãî (íàïðèìåð, êàðèå, ñåðûå,
ãîëóáûå è çåëåíûå). Âñå n îñîáåé ðàçáèâàþòñÿ íà sr ãðóïï â ñîîòâåòñòâèè
ñ íàëè÷èåì òåõ èëè èíûõ óðîâíåé êàæäîãî ïðèçíàêà, è ñîñòàâëÿåòñÿ ñëå-
äóþùàÿ òàáëèöà ÷àñòîò îñîáåé â êàæäîé ãðóïïå.
Ïðèçíàêè 1 2 ··· s Ñóììà
1 ν 11 ν 12 ··· ν 1s ν1·
2 ν 21 ν 22 ··· ν 2s ν2·
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
r ν r1 ν r2 ··· ν rs νr·
Ñóììà ν·1 ν·2 ··· ν·s n
Òàêèå òàáëèöû, â êîòîðûõ ñóììû
s
X r
X
νi· = ν ij , ν·j = ν ij ,
j=1 i=1
íàçûâàþòñÿ òàáëèöàìè ñîïðÿæåííîñòè ïðèçíàêîâ. Òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü
íóëåâóþ ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ïåðåìåííûå ïðèçíàêè, ïî êîòîðûì ïîñòðîåíà
òàáëèöà, íåçàâèñèìû. Ïîñòðîèì âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü, ñîîòâåòñòâóþùóþ
òàêîãî ðîäà òàáëè÷íûì äàííûì è ñîñòàâèì ñòàòèñòèêó X 2 äëÿ ïðîâåðêè
ãèïîòåçû íåçàâèñèìîñòè.
Ïóñòü p ij âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíî îòîáðàííàÿ îñîáü èìååò i-ûé
óðîâåíü ïî ïåðâîìó ïðèçíàêó è j -ûé ïî âòîðîìó, i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s.
Ãèïîòåçà íåçàâèñèìîñòè îçíà÷àåò, ÷òî p ij = p i · p · j , ãäå
s
X r
X
pi· = p ij , p·j = p ij
j=1 i=1
ïðè ëþáûõ i = 1, . . . , r è j = 1, . . . , s. Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû íåçàâèñèìî-
ñòè ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü òåñòîâóþ ñòàòèñòèêó
X (ν ij − n p i · p · j )2
2
X = , (1)
i,j
n pi· p·j
â êîòîðîé ñóììèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå rs ãðóïï òàáëèöû ñî-
ïðÿæåííîñòè ïðèçíàêîâ. Ïîíÿòíî, ÷òî X 2 ÿâëÿåòñÿ òåñòîâîé ñòàòèñòèêîé
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