Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
r−1
1
Y
2
j
. X
2
r − 1
r − 1
P
P =
{P
θ
, θ ∈ Θ ⊆ R
s
}, s θ = (θ
1
, . . . , θ
s
).
X
2
(θ) =
r
X
i=1
(ν
i
− np
i
(θ))
2
np
i
(θ)
H : P ∈ P.
ˆ
θ
n
=
ˆ
θ
n
(X
(n)
) θ
ˆ
X
2
= X
2
(
ˆ
θ
n
) =
r
X
i=1
(ν
i
− np
i
(
ˆ
θ
n
))
2
np
i
(
ˆ
θ
n
)
.
ˆ
X
2
θ.
ˆ
θ
n
X
2
(θ),
ˆ
X
2
r − s − 1
ˆ
θ
n
θ
ˆ
X
2
,
ˆ
θ
n
,
K(x),
K
r−1
(x) ≤ K(x) ≤ K
r−s−1
(x),
x > 0.
Xr−1
       Yj2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè X 2 åñòü
   1
ðàñïðåäåëåíèå ñóììû êâàäðàòîâ r − 1 íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,
èìåþùèõ îáùåå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ
ýòî  õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå ñ r − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òåîðåìà Ïèð-
ñîíà äîêàçàíà.

                                                                     Ëåêöèÿ 15

   Ðàññìîòðèì òåïåðü áîëåå ñëîæíóþ ñòàòèñòè÷åñêóþ ïðîáëåìó, â êîòî-
ðîé ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà î ïðèíàäëåæíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ P íàáëþäà-
åìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåêîòîðîìó ïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó P =
{P θ , θ ∈ Θ ⊆ Rs }, èíäåêñèðîâàííîìó s-ìåðíûì ïàðàìåòðîì θ = (θ1 , . . . , θs ).
 òàêîì ñëó÷àå
                                     r
                                     X
                            2          (νi − npi (θ))2
                           X (θ) =
                                     i=1
                                                 npi (θ)
íå ìîæåò íàçûâàòüñÿ ñòàòèñòèêîé è åå íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðîâåðêè
ñëîæíîé ãèïîòåçû H : P ∈ P. Åñòåñòâåííî âîñïîëüçîâàòüñÿ êàêîé-ëèáî
îöåíêîé θ̂n = θ̂n (X (n) ) ïàðàìåòðà θ è ðàññìîòðåòü òåñòîâóþ ñòàòèñòèêó
                                       r
                                       X
                       2        2        (νi − npi (θ̂n ))2
                     X̂ = X (θ̂n ) =                             .
                                           i=1      npi (θ̂n )

    Ïîíÿòíî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè X̂ 2 ìîæåò çàâèñåòü îò ìåòîäà
îöåíêè ïàðàìåòðà θ. Îäíàêî, åñëè îïðåäåëèòü îöåíêó θ̂n èç óñëîâèÿ ìèíè-
ìóìà ñëó÷àéíîé ôóíêöèè X 2 (θ), òî, êàê ïîêàçàë Ôèøåð, ïðè îïðåäåëåííûõ
óñëîâèÿõ ðåãóëÿðíîñòè, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò âñå ðàññìîòðåííûå íàìè
â êóðñå ÒÂ âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè, ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè
X̂ 2 åñòü õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå ñ r − s − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Åñëè
æå θ̂n  îöåíêà θ ïî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, òî ïðåäåëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå X̂ 2 , òàêæå ïðè óñëîâèÿõ ðåãóëÿðíîñòè òèïà òåõ, ÷òî îáåñïå-
÷èâàëè àñèìïòîòè÷åñêóþ íîðìàëüíîñòü θ̂n , èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
K(x), äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâà äâóñòîðîííÿÿ îöåíêà

                        Kr−1 (x) ≤ K(x) ≤ Kr−s−1 (x),

ïðè ëþáîì x > 0.
  Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ óòâåðæäåíèé äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêî è ìû íå áó-
äåì èì çàíèìàòüñÿ èç-çà íåäîñòàòêà âðåìåíè. Èäåéíàÿ ñòîðîíà ïðîáëåìû

                                       253

Страницы