Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ν = (ν
1
, . . . , ν
r
) ϕ
ν
(t) = ϕ
n
Y
(t),
3
0
Y
X
r
1
X
j
= 1
ϕ
Y
(t) = E exp
(
i
r
X
1
t
j
X
j
)
=
r
X
1
p
j
e
i t
j
,
ϕ
ν
(t) =
Ã
r
X
1
p
j
e
i t
j
!
n
.
X
X
j
=
ν
j
− np
j
√
np
j
, j = 1, . . . , r,
X
2
X
2
0
ϕ
X
(t) = exp
(
−i
r
X
1
t
j
√
np
j
)Ã
r
X
1
p
j
exp
½
i t
j
√
np
j
¾
!
n
.
t
1
, . . . ,
t
r
,
ln ϕ
X
(t) = −i
√
n
r
X
1
t
j
√
p
j
+
n ln
"
1 +
i
√
n
r
X
1
t
j
√
p
j
−
1
2n
r
X
1
t
2
j
+ O(n
−3/2
)
#
=
= −
1
2
r
X
1
t
2
j
+
1
2
Ã
r
X
1
t
j
√
p
j
!
2
+ O(n
−1/2
).
÷àñòîò ν = (ν1 , . . . , νr ) áóäåò âû÷èñëÿòüñÿ ïî ôîðìóëå ϕν (t) = ϕnY (t), èáî
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâ-
íà ïðîèçâåäåíèþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñëàãàåìûõ (ïóíêò 30 òåîðå-
ìû
Xr12.1 êóðñà ÒÂ). Íî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðà Y (íàïîìíèì,
    Xj = 1)
   1                              (   r
                                                        )        r
                                      X                          X
                  ϕ Y (t) = E exp i             tj Xj       =            pj ei tj ,
                                        1                            1
è ïîýòîìó                             Ã r                   !n
                                       X
                           ϕν (t) =             pj ei tj         .
                                            1
  Òåïåðü ïåðåéäåì ê àñèìïòîòè÷åñêîìó àíàëèçó õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóí-
êöèè âåêòîðà X íîðìèðîâàííûõ ÷àñòîò
                             νj − npj
                         Xj = √       , j = 1, . . . , r,
                                npj

ñóììà êâàäðàòîâ êîìïîíåíò êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò òåñòîâóþ ñòàòèñòèêó X 2
(èçâèíèòå, ÷òî èñïîëüçóþ áóêâó X â íîâîì ñìûñëå, íî íå õî÷åòñÿ ââîäèòü
äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íîâûå ñèìâîëû). Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ
ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, êîìïîíåíòû êîòîðîãî ïîäâåðãíóòû ëèíåéíî-
ìó ïðåîáðàçîâàíèþ, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå, àíàëîãè÷íîé ïóíêòó 20 òåî-
ðåìû 12.1:
                       (  r
                                            )Ã     r                     ½            ¾!n
                          X   √                    X                          i tj
          ϕX (t) = exp −i   tj npj                          pj exp           √                .
                              1                         1
                                                                               npj

     Ðàçëîæèì ëîãàðèôì ýòîé ôóíêöèè â ðÿä Ìàêëîðåíà ïî ñòåïåíÿì t1 , . . . ,
tr , êàê ýòî äåëàëîñü ïðè äîêàçàòåëüñòâå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû:
                                         r
                                      √ X    √
                        ln ϕX (t) = −i n   tj pj +
                                                   1
                  "         r              r
                                                                                      #
                       i X √             1 X 2
             n ln 1 + √        tj pj −       tj + O(n−3/2 )                               =
                         n 1            2n 1
                       r
                                  Ã r       !2
                    1X 2 1 X √
                 =−       tj +         tj pj + O(n−1/2 ).
                    2 1         2   1

                                       251

Страницы