Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
2
n → ∞
r ≥ 2
n → ∞, X
2
r − 1
X
2
ν
1
, . . . , ν
r
,
X
n
1
ν
i
= n.
M(r, n, p),
f(x
1
, . . . , x
r
) = P (ν
1
= x
1
, . . . , ν
r
= x
r
) =
n!
x
1
! ··· x
r
!
p
x
1
1
··· p
x
r
r
,
X
n
1
x
i
= n.
r − 1
ν
1
, . . . , ν
r−1
r − 1
ν
1
, . . . , ν
r
X
n
1
ν
i
= n.
ν
1
, . . . , ν
r
.
Y
1
, . . . , Y
n
Y = (X
1
, . . . , X
r
),
X
j
X
j
= 1.
Y
i
Y
(n)
= (Y
1
, . . . , Y
n
) Y,
Y
i
= (X
1i
, . . . , X
ri
) X
ji
X
j
, j = 1, . . . , r, i = 1, . . . , n.
ν
j
=
n
X
i=1
X
ji
, j = 1, . . . , r.
ϕ
Y
(t), t = (t
1
, . . . , t
r
),
Y, ϕ
ν
(t)
âîçìîæíûì; ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå X 2 ïðè n → ∞ óñòàíîâèë Ê.Ïèðñîí
â ñàìîì íà÷àëå ÕÕ âåêà.
   Òåîðåìà 9.1. Åñëè ÷èñëî ðàçáèåíèé r ≥ 2 ôèêñèðîâàíî, à îáúåì âû-
áîðêè n → ∞, òî ðàñïðåäåëåíèå X 2 ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ õè-êâàäðàò
ñ r − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. Î÷åâèäíî, äëÿ âûâîäà ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ X 2 ñëåäóåò â ïåðâóþ     Xnî÷åðåäü îáðàòèòüñÿ ê ñîâìåñòíîìó ðàñïðåäåëå-
íèþ ÷àñòîò ν1 , . . . , νr ,       νi = n. Ýòî ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
                                 1
M(r, n, p), (ñì. Ÿ9 êóðñà ÒÂ) ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
                                                                 n!
       f (x1 , . . . , xr ) = P (ν1 = x1 , . . . , νr = xr ) =             p1x1 · · · prxr ,
                                                           x1 ! · · · xr !
                                                         Xn
ñîñðåäîòî÷åííîå íà öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêå                       xi = n. Òåîðåìà 9.1 èç
                                                             1
êóðñà Ò óòâåðæäàåò, ÷òî ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ïåðâûõ r − 1 ÷àñòîò
ν1 , . . . , νr−1 àïïðîêñèìèðóåòñÿ r − 1-ìåðíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.
Åñòåñòâåííî, ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå âñåãî âåêòîðà ÷àñòîò ν1 , . . . , νr ïðè
ñîîòâåòñòâóþùåé íîðìèðîâêå íà èõX               ñðåäíèå çíà÷åíèÿ è ñòàíäàðòíûå îò-
                                                  n
êëîíåíèÿ áóäåò âûðîæäåííûì, èáî                     νi = n. Âûðîæäåííûå ðàñïðåäåëå-
                                                  1
íèÿ ëó÷øå âñåãî èññëåäîâàòü ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé, èáî
òàêèå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â ÿâíîì âèäå, òîëüêî ïåðåõîäÿ ê ñè-
ñòåìå êîîðäèíàò íà òîé ãèïåðïîâåðõíîñòè, ãäå ñîñðåäîòî÷åíî òàêîå ðàñïðå-
äåëåíèå, è ýòî ÷ðåçâû÷àéíî óñëîæíÿåò òåõíèêó àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà
ðàñïðåäåëåíèé. Èòàê, íàéäåì ñîâìåñòíóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ
ν1 , . . . , ν r .
     Âñïîìíèì ñõåìó ìóëüòèíîìèàëüíûõ èñïûòàíèé. Ìû íàáëþäàåì âûáîð-
êó Y1 , . . . , Yn èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Y = (X1 , . . . , Xr ), âñå
êîìïîíåíòû êîòîðîãî, çà èñêëþ÷åíèåì îäíîé (ñêàæåì, Xj ), ìîãóò ïðèíè-
ìàòü òîëüêî íóëåâûå çíà÷åíèÿ, â òî âðåìÿ êàê Xj = 1. Êàæäàÿ êîìïî-
íåíòà Yi âûáîðêè Y (n) = (Y1 , . . . , Yn ) åñòü íåçàâèñèìàÿ êîïèÿ Y, òàê ÷òî
Yi = (X1i , . . . , Xri ) è Xji  êîïèÿ (â ñìûñëå îäèíàêîâîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ)
Xj , j = 1, . . . , r, i = 1, . . . , n.  òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõ
                                       n
                                       X
                                νj =         Xji , j = 1, . . . , r.
                                       i=1

  Åñëè ìû íàéäåì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ϕ Y (t), t = (t1 , . . . , tr ),
íàáëþäàåìîãî âåêòîðà Y, òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ϕν (t) âåêòîðà

                                                250

Страницы