Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 252 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
lim
n→∞
ϕ
X
(t) = exp
−
1
2
r
X
1
t
2
j
−
Ã
r
X
1
t
j
√
p
j
!
2
.
r
Λ = I−pp
0
, I
p = (
√
p
1
, . . . ,
√
p
r
)
Q(t) =
r
X
1
t
2
j
−
Ã
r
X
1
t
j
√
p
j
!
2
,
Z =
(Z
1
, . . . , Z
r
),
t, u = At
A u =
(u
1
, . . . , u
r
) u
r
=
X
r
1
t
j
√
p
j
,
Q(t) =
r
X
1
t
2
j
−
Ã
r
X
1
t
j
√
p
j
!
2
=
r
X
1
u
2
j
− u
2
r
=
r−1
X
1
u
2
j
.
Y = BZ
Z, Y
1
, . . . , Y
r−1
Y
r
Y
r
= 0
Z
X
r
1
Z
j
√
p
j
= 0.
X
2
=
X
r
1
X
2
j
.
X
Z, X
2
X
r
1
Z
2
j
.
X
r
1
Z
2
j
=
X
r
1
Y
2
j
=
  Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ âåêòîðà X íîðìèðîâàííûõ ÷àñòîò åñòü
                                        Ã r        !2 
                              1 X r       X √           
             lim ϕX (t) = exp −      2
                                     tj −     t j pj      .
            n→∞               2                         
                                   1        1

Ýòî  õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ r-ìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ñ íóëåâûìè ñðåäíèìè è ìàòðèöåé êîâàðèàöèé Λ = I−pp0 , ãäå I  åäèíè÷íàÿ
                √            √
ìàòðèöà, à p = ( p1 , . . . , pr )  âåêòîð ñòîëáåö.
   Ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó
                                      r
                                                      Ã   r
                                                                     !2
                                      X                   X   √
                        Q(t) =                t2j −         tj pj            ,
                                          1                1

êîýôôèöèåíòû êîòîðîé îïðåäåëÿþò êîâàðèàöèè êîìïîíåíò âåêòîðà Z =
(Z1 , . . . , Zr ), ðàñïðåäåëåííîãî ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó. Åñëè ïðîèçâåñòè îð-
òîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå A âåêòîðà t, ïîëàãàÿ u = At è ôèêñèðóÿ
ïîñëåäíþþ ñòðîêó ìàòðèöû X         A òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû â íîâîì âåêòîðå u =
                                      r √
(u1 , . . . , ur ) êîìïîíåíòà ur =      tj pj , òî ìû ïîëó÷èì êâàäðàòè÷íóþ ôîð-
                                      1
ìó (âñïîìíèòå àíàëîãè÷íûå îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íîðìàëüíîãî
âåêòîðà ïðè âûâîäå ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè â ëåììå Ôèøå-
ðà)
                    r
                                  Ã   r
                                                      !2       r                       r−1
                    X                 X   √                    X                       X
           Q(t) =       t2j   −         tj pj              =       u2j   −   u2r   =         u2j .
                    1                 1                        1                        1
   Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Y = BZ âåê-
òîðà Z, ïîñëå êîòîðîãî Y1 , . . . , Yr−1 íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî íîðìàëüíî ðàñ-
ïðåäåëåíû ñî ñðåäíèìè, ðàâíûìè íóëþ, è åäèíè÷íûìè äèñïåðñèÿìè, à Yr
èìååò íóëåâîå ñðåäíåå è íóëåâóþ äèñïåðñèþ, òî åñòü Yr = 0 ïî÷òè íàâåðíîå.
Âñå ýòî, êîíå÷íî, ñëåäñòâèå âûðîæäåííîñòè íîðìàëüíîãî   Xr √ ðàñïðåäåëåíèÿ
âåêòîðà Z  îíî ñîñðåäîòî÷åíî íà ãèïåðïëîñêîñòè             Zj pj = 0.
                                                                                   1           Xr
   Èçó÷èì òåïåðü ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè X =           Xj2 . Ïî-            2
                                                                 1
ñêîëüêó ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà X ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì
                                                      2
âåêòîðà Z, òî ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
                                  Xr ñòàòèñòèêè X îïðåäåëÿåòñÿ ðàñ-
ïðåäåëåíèåì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû         Zj2 . Êàê èçâåñòíî, îðòîãîíàëüíûå
                                                       1                           Xr                Xr
ïðåîáðàçîâàíèÿ íå ìåíÿþò ñóììû êâàäðàòîâ, ïîýòîìó                                           Zj2 =         Yj2 =
                                                                                       1              1


                                                 252

Страницы