Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 257 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

\ 1 2 ··· s
1 ν
11
ν
12
··· ν
1s
ν
1 ·
2 ν
21
ν
22
··· ν
2s
ν
2 ·
r ν
r1
ν
r2
··· ν
rs
ν
r ·
n
1
n
2
··· n
s
n
X
2
=
s
X
j=1
r
X
i=1
(ν
ij
− n
j
p
i
)
2
n
j
p
i
.
X
2
j
=
r
X
i=1
(ν
ij
− n
j
p
i
)
2
n
j
p
i
j
n
j
→ ∞
r − 1 X
2
s
X
2
(r − 1)s
ˆp
i
= ν
i ·
/n, i = 1, . . . , r, r −1
X
2
ˆ
X
2
= n
X
i,j
(ν
ij
− n
j
ν
i ·
/n)
2
n
j
ν
i ·
= n
Ã
X
i,j
ν
2
ij
n
j
ν
i ·
− 1
!
,
(r − 1)s − (r − 1) =
(r −1)(s −1)
s ≥ 2
X
r ≥ 2
                   èñõ. \ ñõåì.       1        2      ···       s Ñóììà
                       1             ν 11     ν 12    ···      ν 1s  ν1·
                       2             ν 21     ν 22    ···      ν 2s  ν2·
                        ..             ..       ..       ..      ..   ..
                       r.            ν .r1    ν .r2   · ·. ·   ν .rs ν.r ·
                     Ñóììà           n1       n2      ···      ns     n

   Ñîñòàâèì ñíà÷àëà ñòàòèñòèêó õè-êâàäðàò äëÿ ñëó÷àÿ èçâåñòíîãî âåêòîðà
âåðîÿòíîñòåé p:
                                     s X
                                     X r
                               2         (ν ij − n j p i )2
                              X =                                    .
                                      j=1 i=1
                                                           nj pi
Âíóòðåííÿÿ ñóììà
                                         r
                                         X (ν ij − n j p i )2
                               Xj2   =
                                         i=1
                                                       nj pi
ïðåäñòàâëÿåò ñòàòèñòèêó õè-êâàäðàò äëÿ j -îé ñõåìû ìóëüòèíîìèàëüíûõ
èñïûòàíèé, è ïîýòîìó èìååò â ïðåäåëå (nj → ∞) õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëå-
íèå ñ r − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ñòàòèñòèêà X 2 åñòü ñóììà s íåçàâèñèìûõ
ñòàòèñòèê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ïðåäåëüíîå õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëå-
íèå, òàê ÷òî, â ñèëó òåîðåìû ñëîæåíèÿ, ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå X 2 åñòü
õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå ñ (r − 1)s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
    ñëó÷àå íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòåé èñõîäîâ, êîòîðûå ïðè ñïðà-
âåäëèâîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû îäèíàêîâû äëÿ âñåõ ñõåì èñïûòàíèé, èñïîëü-
çóåì èõ îöåíêè p̂ i = ν i · /n, i = 1, . . . , r, (âñåãî îöåíèâàåòñÿ r − 1 ïàðàìåòð).
Ïîäñòàíîâêà ýòèõ îöåíîê â X 2 äàåò ñòàòèñòèêó
                                                            Ã                 !
                        X (ν ij − n j ν i · /n)2             X ν 2ij
             X̂ 2 = n                                    =n                 −1 ,
                        i,j
                                     nj νi·                   i,j
                                                                  n j ν i ·

ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé åñòü õè-êâàäðàò ñ (r − 1)s − (r − 1) =
(r − 1)(s − 1) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Çàìå÷àòåëåí òîò ôàêò, ÷òî ìû ïîëó÷èëè
òåñòîâóþ ñòàòèñòèêó òàêîãî æå âèäà è ñ òåì æå ïðåäåëüíûì ðàñïðåäåëå-
íèåì, ÷òî è ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ.
   Åñòåñòâåííî, ïîñòðîåííûé êðèòåðèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðîâåð-
êè ãèïîòåçû îäíîðîäíîñòè ðàñïðåäåëåíèé, èç êîòîðûõ èçâëåêàþòñÿ s ≥ 2
âûáîðîê. Âûáîðî÷íûå äàííûå ïðè ýòîì ïîäâåðãàþòñÿ ãðóïïèðîâêå â ñîîò-
âåòñòâèè ñ îäèíàêîâûì äëÿ âñåõ âûáîðîê ðàçáèåíèåì ïðîñòðàíñòâà X íà
r ≥ 2 îáëàñòåé.

                                                257

Страницы