Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ω
(3)
B
1
B
2
B
3
P (B
1
) = P (B
3
) =
(1/2) · (1/2) = 1/4, P (B
2
) = (1/2) · (1/2) + (1/2) · (1/2) = 1/2.
P (A |B
1
) = 1, P (A |B
2
) = 2/3, P (A |B
3
) = 1/3.
P (A) = 1 · (1/4) + (2/3) · (1/2) +
(1/3) · (1/4) = 2/3.
Ω = { }
Ω
P (A)
Ω
âëèÿë íà óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü âûáîðà áåëîãî øàðà. Ïðîñòðàíñòâî Ω â
äåéñòâèòåëüíîñòè ñîñòîèò èç âîñüìè ýëåìåíòîâ
                 ÁÁ.Á       Á×.Á           ×Á.Á    ××.Á
                                                                           (3)
                 ÁÁ.×       Á×.×           ×Á.×    ××.×
Çäåñü ïåðâûå äâå áóêâû äî òî÷êè óêàçûâàþò öâåò øàðîâ, âûíóòûõ èç ïåð-
âîé óðíû, à áóêâà ïîñëå òî÷êè  öâåò øàðà, âûíóòîãî èç âòîðîé óðíû ïîñëå
ïåðåêëàäûâàíèÿ. Âû÷èñëåíèÿ, ïðîâîäèìûå â (3), ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóì-
ìèðîâàíèå âåðîÿòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, óêàçàííûõ â ïåðâîé ñòðîêå
òàáëèöû.
   Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à óäèâèòåëüíî òî÷íî èëëþñòðèðóåò íåäîðàçóìåíèÿ,
êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü èç-çà íåïðàâèëüíîé ñïåöèôèêàöèè ïðîñòðàíñòâà
ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ.
   Ç à ä à ÷ à 3.2. Ýêñïåðèìåíòàòîð ðàñïîëàãàåò äâóìÿ ïàðàìè øàðîâ îäè-
íàêîâîãî öâåòîâîãî ñîñòàâà Á× è Á×. Èç êàæäîé ïàðû íàóãàä âûáèðàåòñÿ
ïî îäíîìó øàðó è áðîñàåòñÿ â óðíó, ãäå ëåæèò áåëûé øàð. Èç òðåõ øàðîâ â
óðíå íàóãàä îòáèðàåòñÿ îäèí. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî âûíóò áåëûé øàð?
   Ìû ñíîâà íàõîäèìñÿ â ñèòóàöèè, ñâÿçàííîé ñ ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû
ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ãäå ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé ñîîòíîñèòñÿ ñ âîçìîæíûì
ñîñòàâîì óðíû: B1 =ÁÁÁ (â óðíå 3 áåëûõ øàðà), B2 =ÁÁ×+Á×Á (â óðíå 2
áåëûõ) è B3 =Á×× (â óðíå 1 áåëûé). Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü âûáîðà øàðà
îïðåäåëåííîãî öâåòà èç êàæäîé ïàðû ðàâíà 1/2 è âûáîð â êàæäîé ïàðå
îñóùåñòâëÿåòñÿ íåçàâèñèìî îò ðåçóëüòàòà âûáîðà â äðóãîé, òî âåðîÿòíîñòè
ñîáûòèé èç ïîëíîé ãðóïïû âû÷èñëÿþòñÿ î÷åíü ïðîñòî: P (B1 ) = P (B3 ) =
(1/2) · (1/2) = 1/4, P (B2 ) = (1/2) · (1/2) + (1/2) · (1/2) = 1/2. Óñëîâíûå
âåðîÿòíîñòè îòáîðà áåëîãî øàðà ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ñîñòàâå óðíû
ðàâíû P (A | B1 ) = 1, P (A | B2 ) = 2/3, P (A | B3 ) = 1/3. Òåïåðü, èñïîëüçóÿ
ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, íàõîäèì P (A) = 1 · (1/4) + (2/3) · (1/2) +
(1/3) · (1/4) = 2/3. Åñëè èãíîðèðîâàòü ïðîöåññ ñëó÷àéíîãî ôîðìèðîâàíèÿ
ñîñòàâà óðíû è ñ÷èòàòü, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ äâóõòî÷å÷íûì ïðîñòðàíñòâîì
ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω = {Á,×}, òî ïðèõîäèì ê ïàðàäîêñàëüíîìó âûâîäó:
ñîñòàâ óðíû âñåãäà îäèí è òîò æå  äâà áåëûõ è îäèí ÷åðíûé!
   Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî â ýòîé çàäà÷å ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ
òî æå, ÷òî è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å 3.1 (äîïîëíèòåëüíûé áåëûé øàð ôèêñè-
ðîâàí è åãî ìîæíî íå ó÷èòûâàòü ïðè îïðåäåëåíèè Ω), è íàøè âû÷èñëåíèÿ
P (A) ñîñòîÿò â ñóììèðîâàíèè âåðîÿòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ïåðâîé
ñòðîêè â òàáëèöå, ïðåäñòàâëÿþùåé ïðîñòðàíñòâî Ω.

                                      36

Страницы