Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P (B
1
), . . . , P (B
n
)
B
1
, . . . , B
n
,
P (B
1
|A), . . . , P (B
n
|A)
A.
A
B
1
= { }, B
2
= { } + { }, B
3
= { }.
P (B
1
) = P ( ∩ ) = P |
·P (3/5) · (2/4) = 3/10.
P (B
2
) = (3/5) ·(2/4) + (2/5) ·(3/4) = 6/10 P (B
3
) = (2/5) ·(1/4) = 1/10.
A
P (A |B
1
) = 6/10, P (A |B
2
) = 5/10, P (A |B
3
) = 4/10.
P (A) =
6
10
·
3
10
+
5
10
·
6
10
+
4
10
·
1
10
=
13
25
.
Ω
Ω
  Ç à ì å ÷ à í è å. Âåðîÿòíîñòè P (B1 ), . . . , P (Bn ) ÷àñòî íàçûâàþò àïðèîð-
íûìè âåðîÿòíîñòÿìè ãðóïïû ñîáûòèé B1 , . . . , Bn , â òî âðåìÿ êàê óñëîâ-
íûå âåðîÿòíîñòè P (B1 | A), . . . , P (Bn | A)  àïîñòåðèîðíûìè, ïîëó÷åííû-
ìè ïîñëå äîïîëíèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà, â êîòîðîì ïðîèçîøëî ñîáûòèå A.
 ñâÿçè ñ ýòèì ôîðìóëà Áàéåñà íàçûâàåòñÿ òàêæå ôîðìóëîé îáíîâëåíèÿ
àïðèîðíûõ âåðîÿòíîñòåé.
   Ïðèâåäåì íåñêîëüêî çàäà÷, ðåøàåìûõ ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ ôîðìóë
óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè.
   Ç à ä à ÷ à 3.1. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé 3 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, íàóãàä
âûíèìàþò 2 øàðà è ïåðåêëàäûâàþò â äðóãóþ óðíó, ñîäåðæàùóþ 4 áåëûõ
è 4 ÷åðíûõ øàðà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü èìåòü áåëûé øàð ïðè ñëó÷àéíîì
âûáîðå îäíîãî øàðà èç âòîðîé óðíû ïîñëå ïåðåêëàäûâàíèÿ?
   Ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿ îáû÷íî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíî-
ñòè. Ïóñòü A  ñîáûòèå, îçíà÷àþùåå îòáîð áåëîãî øàðà. Îïðåäåëèì ïîë-
íóþ ãðóïïó ñîáûòèé â ñîîòâåòñòâèè ñ âîçìîæíûìè ðåçóëüòàòàìè ïåðå-
êëàäûâàíèÿ: B1 = {Á,Á}, B2 = {Á,×} + {×,Á}, B3 = {×,×}. Çäåñü
ïåðâàÿ áóêâà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ óêàçûâàåò öâåò øàðà (Á  áåëûé, ×
 ÷åðíûé), êîòîðûé áûë âûíóò èç ïåðâîé óðíû ïåðâûì, à âòîðàÿ áóêâà
 öâåò âòîðîãî øàðà. Òåðìèí íàóãàä îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü âûíóòü
øàð îïðåäåëåííîãî öâåòà ðàâíà îòíîøåíèþ ÷èñëà øàðîâ ýòîãî öâåòà ê îá-
ùåìó ÷èñëó øàðîâ â óðíå.  òàêîì ñëó÷àå, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé
óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè, P (B1 ) = P (Á ∩ Á) = P (âòîðîé øàð áåëûé | ïåð-
âûé øàð áåëûé)·P (ïåðâûé øàð áåëûé)=(3/5) · (2/4) = 3/10. Àíàëîãè÷íî,
P (B2 ) = (3/5) · (2/4) + (2/5) · (3/4) = 6/10 è P (B3 ) = (2/5) · (1/4) = 1/10.
Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A âû÷èñëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷èñëîì
áåëûõ øàðîâ âî âòîðîé óðíå ïîñëå äîáàâëåíèÿ â íåå äâóõ øàðîâ èç ïåð-
âîé óðíû: P (A | B1 ) = 6/10, P (A | B2 ) = 5/10, P (A | B3 ) = 4/10. Ôîðìóëà
ïîëíîé âåðîÿòíîñòè äàåò
                          6 3    5 6   4 1  13
                P (A) =     ·  +  ·  +  ·  = .                               (3)
                          10 10 10 10 10 10 25

   Ç à ì å ÷ à í è å ê ç à ä à ÷ å 3.1. Ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà
ïðîñòðàíñòâî Ω ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ â ýòîé çàäà÷å,  ãëóáîêî çàáëóæäà-
åòñÿ òîò, êòî íàäåëÿåò Ω âñåãî äâóìÿ ýëåìåíòàìè Á è ×. Íàø ýêñïåðèìåíò
ñîñòîÿë íå òîëüêî â îòáîðå øàðà èç âòîðîé óðíû  ïåðåä ýòèì ïðîèçâîäèë-
ñÿ ñëó÷àéíûé îòáîð äâóõ øàðîâ èç ïåðâîé óðíû, è ðåçóëüòàò ýòîãî îòáîðà

                                      35

Страницы