Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{B
1
, . . . , B
n
},
(B
i
∩B
j
= , i 6= j)
Ω. Ω,
Ω =
X
n
1
B
i
.
A {B
1
, . . . , B
n
}
P (A) =
n
X
i=1
P (A |B
i
)P (B
i
).
P (A) = P (A ∩ Ω) = P (A ∩
n
X
1
B
i
) =
P (
n
X
1
A ∩ B
i
) =
n
X
1
P (A ∩ B
i
) =
n
X
1
P (A|B
i
)P (B
i
).
A
{B
1
, . . . , B
n
}
P (B
k
|A) =
P (A |B
k
)P (B
k
)
X
n
i=1
P (A |B
i
)P (B
i
)
.
P (A ∩ B
k
) = P (A |B
k
)P (B
k
),
P (B
k
|A) =
P (A ∩ B
k
)
P (A)
=
P (A |B
k
)P (B
k
)
P (A).
P (A)
                                                                                  Ëåêöèÿ 5

   Ñëåäóþùèå äâå ôîðìóëû óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè èãðàþò âàæíóþ ðîëü
ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Îáå ôîðìóëû ñâÿçàíû ñ òàê
íàçûâàåìîé ïîëíîé ãðóïïîé ñîáûòèé {B1 , . . . , Bn }, êîòîðûå íåñîâìåñòíû
(Bi ∩ Bj = , i 6= j) è â îáúåäèíåíèè äàþò âñå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ
èñõîäîâ Ω.
         XÃîâîðÿò,    ÷òî ýòà ãðóïïà ñîáûòèé îïðåäåëÿåò ðàçáèåíèå Ω, òàê
            n
êàê Ω =       Bi .
            1
  Ïðåäëîæåíèå 3.3 (Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè). Äëÿ ëþáîãî
ñîáûòèÿ A è ïîëíîé ãðóïïû ñîáûòèé {B1 , . . . , Bn } ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
                                       n
                                       X
                           P (A) =           P (A | Bi )P (Bi ).
                                       i=1


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î íåìåäëåííî ñëåäóåò èç ñëåäóþùåé öåïî÷êè ðà-
âåíñòâ, â êîòîðîé íà ïîñëåäíåì ýòàïå èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà óñëîâíîé âå-
ðîÿòíîñòè:
                                                          n
                                                          X
                      P (A) = P (A ∩ Ω) = P (A ∩               Bi ) =
                                                          1
                n
                X                  n
                                   X                    n
                                                        X
           P(        A ∩ Bi ) =        P (A ∩ Bi ) =          P (A|Bi )P (Bi ).
                1                  1                      1


  Ïðåäëîæåíèå 3.4 (Ôîðìóëà Áàéåñà). Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A è
ïîëíîé ãðóïïû ñîáûòèé {B1 , . . . , Bn } ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
                                     P (A | Bk )P (Bk )
                       P (Bk | A) = Xn                      .
                                         P (A | Bi )P (Bi )
                                             i=1


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ñèëó ôîðìóëû óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè
P (A ∩ Bk ) = P (A | Bk )P (Bk ), ïîýòîìó
                                   P (A ∩ Bk ) P (A | Bk )P (Bk )
                    P (Bk | A) =              =
                                      P (A)         P (A).
Ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âìåñòî P (A) åå âûðàæå-
íèå ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì èñêîìóþ ôîðìóëó Áàéåñà.


                                             34

Страницы