Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ω
2
n
x
1
, . . . , x
n
. A Ω
A
1
, . . . , A
n
A, A
i
X
i
= x
i
i = 1, . . . , n.
A
1
, . . . , A
n
x
1
, . . . , x
n
n
X
i
= x
i
, i = 1, . . . , n
P (X
1
= x
1
, . . . , X
n
= x
n
) =
n
Y
i=1
P (X
i
= x
i
) = p
X
n
1
x
i
(1 − p)
n−
X
n
1
x
i
.
Ω C
m
n
m =
X
n
1
x
i
p
m
(1 −p)
n−m
.
X =
n
X
1
X
i
,
m
m = 0, 1, . . . , n
P (X = m |p, n) = C
m
n
p
m
(1 − p)
n−m
.
N M
P (X =
m |N, M, n) N → ∞, M → ∞ M/N → p,
n m
P (X = m |N, M, n) → P (X = m |p, n) = C
m
n
p
m
(1 − p)
n−m
.
    Êàê è â èñïûòàíèÿõ ïðàâèëüíîé ìîíåòû, ïðîñòðàíñòâî Ω ýëåìåíòàð-
íûõ èñõîäîâ ðàññìàòðèâàåìîãî ýêñïåðèìåíòà ñîñòîèò èç 2n ýëåìåíòîâ âè-
äà x1 , . . . , xn . Ïóñòü A  áóëåâà àëãåáðà âñåâîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ Ω è
A1 , . . . , An  ïîäàëãåáðû A, ïðè÷åì Ai ïîðîæäàåòñÿ ñîáûòèåì Xi = xi (=0
èëè 1), i = 1, . . . , n. Åñëè íàì a priori èçâåñòíî, ÷òî êàê íàáëþäàåìûå îáúåê-
òû, òàê è ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé íàä íèìè, íå îêàçûâàþò âëèÿíèÿ äðóã íà
äðóãà, òî åñòåñòâåííî ôîðìàëèçîâàòü ýòó àïðèîðíóþ èíôîðìàöèþ â âèäå
óòâåðæäåíèÿ: ïîäàëãåáðû A1 , . . . , An íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè . Â òà-
êîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà x1 , . . . , xn ñîâïàäà-
åò ñ âåðîÿòíîñòüþ îäíîâðåìåííîãî îñóùåñòâëåíèÿ n íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé
Xi = xi , i = 1, . . . , n è, ñëåäîâàòåëüíî,
                                     n
                                                          Xn                      Xn
                                     Y                            xi         n−        xi
  P (X1 = x1 , . . . , Xn = xn ) =         P (Xi = xi ) = p   1        (1 − p)     1        .
                                     i=1

   Ïîëó÷åííîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ
èñõîäîâ Ω îáëàäàåò îäíîé èíòåðåñíîé
                                 Xîñîáåííîñòüþ:   Cnm èñõîäîâ, ñîäåðæà-
                                    n
ùèõ îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî m =       xi óñïåøíûõ èñïûòàíèé, îáëàäàþò
                                    1
îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ èõ ïîÿâëåíèÿ, ðàâíîé pm (1 − p)n−m . Ðàññìîòðèì
â ñâÿçè ñ ýòèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó
                                              n
                                              X
                                      X=           Xi ,
                                               1

ðåçóëüòàò íàáëþäåíèÿ êîòîðîé m òðàêòóåòñÿ êàê ÷èñëî óñïåøíûõ èñïûòà-
íèé â ýêñïåðèìåíòå. Íà ïðîñòðàíñòâå çíà÷åíèé m = 0, 1, . . . , n ýòîé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû ïîëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ
áèíîìèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì

                      P (X = m | p, n) = Cnm pm (1 − p)n−m .

   Îòìåòèì, ÷òî áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëóæèò àïïðîêñèìàöèåé ãè-
ïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ N è M (ñì.
çàäà÷ó 3 è ôîðìóëó 2 ⠟1). Èìååò ìåñòî
   Ïðåäëîæåíèå 3.2. Åñëè â ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè P (X =
m | N, M, n) ïàðàìåòðû N → ∞, M → ∞ è ïðè ýòîì M/N → p, òî äëÿ
âñåõ ôèêñèðîâàííûõ n è m

        P (X = m | N, M, n) → P (X = m | p, n) = Cnm pm (1 − p)n−m .

                                             32

Страницы