Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
Ã
n
\
1
B
i
!
=
n
Y
1
P (B
i
). (2)
A
i
A
c
i
2
n−1
P (B
i
) =
1/2, B
i
= A
i
A
c
i
; P (B
i
) = 1, B
i
= Ω, P (B
i
) = 0,
B
i
= .
B
i
= ; B
i
= Ω
B
i
A
i
A
c
i
, i = 1, . . . , n.
T
n
1
B
i
2
−n
P (B
i
) = 1/2, i = 1, . . . , n.
n(≥ 1)
p i
i
i
i = 1, . . . , n.
x
1
, . . . , x
n
X
1
, . . . , X
n
p
1 − p. i
X
i
x
i
P (X
i
= x
i
) = p
x
i
(1 − p)
1−x
i
, i = 1, . . . , n.
ñòâóþùèõ ïîäàëãåáð. Òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî
                              Ãn        !       n
                               \                Y
                          P        Bi       =       P (Bi ).               (2)
                               1                1

   Êàæäîå èç ñîáûòèé Ai èëè Aci ñîñòîèò èç 2n−1 èñõîäîâ, ïîýòîìó P (Bi ) =
1/2, åñëè Bi = Ai èëè Aci ; P (Bi ) = 1, åñëè Bi = Ω, è P (Bi ) = 0, åñëè
Bi = . Òàêèì îáðàçîì, (2) âûïîëíÿåòñÿ òðèâèàëüíûì îáðàçîì, åñëè õîòÿ
áû îäíî èç Bi = ; äîñòîâåðíûå ñîáûòèÿ Bi = Ω ïðè äîêàçàòåëüñòâå (2)
ìîæíî ïðîñòî èãíîðèðîâàòü, òàê ÷òî îñòàëîñü óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè
                                                                        Tn
(2), êîãäà âñå Bi ðàâíû Ai èëè Aci , i = 1, . . . , n. Íî â òàêîì ñëó÷àå 1 Bi
ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà
2−n (çíà÷åíèå ëåâîé ÷àñòè (2)), è òî æå çíà÷åíèå ïðèíèìàåò ïðàâàÿ ÷àñòü
(2), ïîñêîëüêó âñå P (Bi ) = 1/2, i = 1, . . . , n.
   Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð óêàçûâàåò íàì ïóòü ê ïîñòðîåíèþ âåðîÿòíîñò-
íîé ìîäåëè ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ñ íåçàâèñèìûìè èñïûòàíèÿìè
ãíóòîé ìîíåòû, äëÿ êîòîðîé âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ãåðáà îòëè÷íà îò 1/2.
Åñòåñòâåííî, òàêîãî ðîäà èñïûòàíèÿ îñóùåñòâëÿþòñÿ â ïðàêòè÷åñêîé è íà-
ó÷íîé äåÿòåëüíîñòè íå òîëüêî ñ ãíóòîé ìîíåòîé  èñïûòàíèÿ ñ áèíàðíûìè
èñõîäàìè èìåþò ìåñòî ïðè êîíòðîëå êà÷åñòâà (èçäåëèÿ ìîãóò áûòü êîíäè-
öèîííûìè è äåôåêòíûìè), ýïèäåìèîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ (âûáðàííàÿ
îñîáü èç ïîïóëÿöèè èíôèöèðîâàíà èëè íåò) è ò.ï. Îáùàÿ òåîðèÿ ýêñïåðè-
ìåíòîâ ñ áèíàðíûìè èñõîäàìè áûëà ðàçðàáîòàíà â XVII âåêå È.Áåðíóëëè
è ïîýòîìó íàçâàíà åãî èìåíåì.
  Ñõåìà èñïûòàíèé Áåðíóëëè. Ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â íàáëþäåíèè
n(≥ 1) îäíîòèïíûõ îáúåêòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñ îäèíàêîâîé âåðîÿò-
íîñòüþ p ìîæåò îáëàäàòü îïðåäåëåííûì ïðèçíàêîì èëè íåò. Åñëè i-ûé
îáúåêò îáëàäàåò óêàçàííûì ïðèçíàêîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî i-îå èñïûòàíèå çà-
âåðøèëîñü óñïåõîì, è â æóðíàëå íàáëþäåíèé ïðîòèâ i-ãî îáúåêòà ñòàâèòñÿ
öèôðà 1; îòñóòñòâèå ïðèçíàêà (íåóäà÷à) îòìå÷àåòñÿ öèôðîé 0, i = 1, . . . , n.
Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè x1 , . . . , xn íàáëþäåíèé ñëó÷àéíûõ èíäèêàòîðîâ X1 , . . . , Xn
 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèå 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ p è 0 ñ
âåðîÿòíîñòüþ 1 − p.  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè i-îì
èñïûòàíèè Xi ïðèíÿëî çíà÷åíèå xi (ðàâíîå 0 èëè 1), ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ôîðìóëîé
                P (Xi = xi ) = pxi (1 − p)1−xi , i = 1, . . . , n.

                                        31

Страницы