Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p(ω) = 1/4 ω ∈ Ω.
A = { }
B = { }
P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (A ∩ B) = P( ) = 1/4 = P(A)P(B).
C = {A
i
, i ∈ I}
P
Ã
k
\
j=1
A
i
j
!
=
k
Y
j=1
P
¡
A
i
j
¢
,
A
i
1
, . . . , A
i
k
, k ≥ 2,
C.
P (A
i
∩ A
j
) =
P (A
i
)P (A
j
), i 6= j,
A
1
, . . . , A
n
.
ω
1
ω
2
ω
3
ω
4
A = { }
B = { } C = { }
P (A) = P (B) = P (C) = 1/2.
P (A ∩ B ∩ C) =
P (A)P (B)P (C) = 1/8.
ω
4
= , P (A∩B ∩C) = p( ) = 1/4 6= 1/8.
A, B C
âåðîÿòíîñòåé: p(ω) = 1/4 ïðè ëþáîì ω ∈ Ω. Ïîêàæåì, ÷òî âûïàäåíèå ãåðáà
ïðè âòîðîì ïîäáðàñûâàíèè íå çàâèñèò îò òîãî, ÷òî ãåðá âûïàë ïðè ïåðâîì
áðîñàíèè ìîíåòû. Ðàññìîòðèì äâà ñîáûòèÿ: A = {ÃÃ,ÃÐ}  ïðè ïåðâîì áðî-
ñàíèè ïîÿâëÿåòñÿ ãåðá è B = {ÃÃ,ÐÃ}  âòîðîå èñïûòàíèå ìîíåòû çàêîí÷è-
ëîñü âûïàäåíèåì ãåðáà, è ïîêàæåì, ÷òî ýòè ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû. Äåéñòâè-
òåëüíî, P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (A ∩ B) = P (ÃÃ) = 1/4 = P (A)P (B).


  Ðàñïðîñòðàíèì òåïåðü ïîíÿòèå íåçàâèñèìîñòè íà ñîâîêóïíîñòè ñîáûòèé.


  Îïðåäåëåíèå 3.3. Ñîáûòèÿ ñåìåéñòâà            C = {Ai , i ∈ I} íàçûâàþòñÿ
íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè èëè ñîâìåñòíî íåçàâèñèìûìè, åñëè
                       Ã k    !    k
                         \         Y   ¡ ¢
                     P     Aij =     P Aij ,
                            j=1           j=1

êàêîâ áû íè áûë êîíå÷íûé íàáîð ñîáûòèé Ai1 , . . . , Aik , k ≥ 2, èç ñîâîêóï-
íîñòè C.
   Ïîêàæåì, ÷òî ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé: P (Ai ∩ Aj ) =
P (Ai )P (Aj ), åñëè i 6= j, íå âëå÷åò, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîâìåñòíóþ íåçàâèñè-
ìîñòü ñîáûòèé A1 , . . . , An .
   Ï ð è ì å ð 3.2 (Ïèðàìèäêà Áåðíøòåéíà). Ïðàâèëüíàÿ ÷åòûðåõãðàííàÿ
ïèðàìèäà, êîòîðàÿ ïðè áðîñàíèè ñ îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ, ðàâíîé 1/4,
ïàäàåò íà ëþáóþ èç ÷åòûðåõ ãðàíåé, ðàñêðàøèâàåòñÿ â òðè öâåòà. Îäíà
ãðàíü ïîêðûâàåòñÿ êðàñíûì öâåòîì (ýëåìåíòàðíûé èñõîä ω1 =ê), äðóãàÿ 
çåëåíûì (ω2 =ç), òðåòüÿ  ñèíèì (ω3 =ñ), à ÷åòâåðòàÿ (ω4 =ì) äåëèòñÿ íà
òðè ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàêðàøèâàåòñÿ ñâîèì öâåòîì  êðàñíûì,
çåëåíûì è ñèíèì.
   Ðàññìîòðèì òðè ñîáûòèÿ: A = {ê,ì}  ïèðàìèäà óïàëà ãðàíüþ, ñîäåð-
æàùåé êðàñíûé öâåò; B = {ç,ì}  çåëåíûé öâåò; C = {ñ,ì}  ñèíèé öâåò.
Êàæäîå èç ýòèõ ñîáûòèé ñîäåðæèò ïî äâà ðàâíîâåðîÿòíûõ èñõîäà, ïîýòî-
ìó P (A) = P (B) = P (C) = 1/2. Åñëè ýòè ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû, òî, ñî-
ãëàñíî îïðåäåëåíèþ 3.3, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî P (A ∩ B ∩ C) =
P (A)P (B)P (C) = 1/8. Îäíàêî â íàøåì ñëó÷àå îäíîâðåìåííîå îñóùåñòâëå-
íèå âñåõ òðåõ ñîáûòèé âîçìîæíî ëèøü ïðè ïîÿâëåíèè åäèíñòâåííîãî ýëå-
ìåíòàðíîãî èñõîäà ω4 = ì, òàê ÷òî P (A ∩ B ∩ C) = p(ì) = 1/4 6= 1/8. Èòàê,
ñîáûòèÿ A, B è C çàâèñèìû.

                                     29

Страницы