Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A,
A :
B A
Ω
B
= {2, 4, 6}.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P (B) B
Ω
B
B Ω
B
p(2) = p(4) = p(6) = 1/6
Ω
B
P (B) = P (Ω
B
) = 1/2.
Ω
B
p(ω ∩ B) = P ({ω} ∩ B)/P (B).
A B,
P (A |B) = P (A ∩ B)/P (B).
A
B A
B
P (A |B) =
P (A ∩ B)
P (B)
,
P (B) 6= 0.
        Ÿ3. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü è íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé

                                                                 Ëåêöèÿ 4
   Ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â
ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ïîñêîëüêó ýòî  ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîð-
ìàëèçàöèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè. Çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, ìû â
ñîñòîÿíèè îïòèìèçèðîâàòü ñâîå ïîâåäåíèå ïðè èãðå ñ ïðèðîäîé, ïðîèçâîäÿ
ñòàâêè íà òå ñîáûòèÿ èç ñèãìà-àëãåáðû A, êîòîðûå îáëàäàþò íàèáîëüøåé
âåðîÿòíîñòüþ. Äàëüíåéøàÿ îïòèìèçàöèÿ òàêîé èãðû îáû÷íî îñóùåñòâëÿ-
åòñÿ çà ñ÷åò äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè, êîòîðîé ìîæåò ðàñïîëàãàòü èã-
ðîê, è ó÷åò òàêîé èíôîðìàöèè îñóùåñòâëÿåòñÿ â òåðìèíàõ òàê íàçûâàåìîé
óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. ×òîáû óÿñíèòü ñìûñë ýòîãî íîâîãî äëÿ íàñ ïîíÿ-
òèÿ, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðîñòîé ïðèìåð.
   Áðîñàåòñÿ ïðàâèëüíàÿ êîñòü è íàñ èíòåðåñóåò ñîáûòèå A : âûïàëî 6
î÷êîâ. Àïðèîðè âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíà 1/6, íî ïóñòü ìû ðàñïî-
ëàãàåì äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèåé, ÷òî âûïàëî ÷åòíîå êîëè÷åñòâî î÷êîâ
(ñîáûòèå B ).  òàêîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A äîëæíà óâåëè÷èòüñÿ,
è äëÿ åå ïåðåñ÷åòà ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü ñóæåííîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåí-
òàðíûõ èñõîäîâ ΩB = {2, 4, 6}. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿò-
íîñòåé íà èñõîäíîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
âåðîÿòíîñòü P (B) ñîáûòèÿ B (èëè, ÷òî òî æå, âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íîâî-
ãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ΩB ) ðàâíà 1/2. Óñëîâèå ïðîèçî-
øëî ñîáûòèå B  äåëàåò ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ΩB äîñòîâåð-
íûì ñîáûòèåì, è, ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû ïðèïèñàòü åìó âåðîÿòíîñòü
åäèíèöà, à âåðîÿòíîñòè p(2) = p(4) = p(6) = 1/6 îñòàëüíûõ èñõîäîâ
èç ΩB ïðîíîðìèðîâàòü  ðàçäåëèòü íà ìåðó P (B) = P (ΩB ) = 1/2. Òà-
êèì îáðàçîì, óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ΩB ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ïî ôîð-
ìóëå p(ω ∩ B) = P ({ω} ∩ B)/P (B). Èòàê, èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ
A ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå B, (óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü) ðàâíà
P (A | B) = P (A ∩ B)/P (B).
  Îïðåäåëåíèå 3.1. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A îòíîñèòåëüíî
ñîáûòèÿ B (áîëåå äëèííàÿ è óñòàðåâøàÿ òåðìèíîëîãèÿ  âåðîÿòíîñòü A
ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî B ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
                                        P (A ∩ B)
                          P (A | B) =             ,
                                          P (B)
åñëè P (B) 6= 0.

                                    27

Страницы