Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

σ
P (A
n
) =
∞
X
k=n
P (A
k
\ A
k+1
).
S =
∞
X
k=1
P (A
k
\ A
k+1
),
A
k+1
⊂ A
k
{A
n
, n ≥ 1}
S =
∞
X
k=1
[P (A
k
) − P (A
k+1
)] = P (A
1
) ≤ 1.
P (A
n
) → 0,
n → ∞.
P
A
Ω.
A,
A,
P Ω.
A Ω
σ
(A1) Ω ∈ A,
(A2) A ∈ A =⇒ A
c
∈ A,
(A3)
S
{A
n
, n ≥ 1} ⊂ A =⇒
S
∞
1
A
n
∈ A.
σ
σ
Ω, P(Ω)
Ω,
 ñèëó àêñèîìû σ -àääèòèâíîñòè
                                    ∞
                                    X
                        P (An ) =          P (Ak \ Ak+1 ).
                                     k=n

Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåò îñòàòî÷íûé ÷ëåí ñõîäÿùåãîñÿ
ðÿäà
                                  ∞
                                  X
                             S=         P (Ak \ Ak+1 ),
                                  k=1
ïîñêîëüêó èç âêëþ÷åíèÿ Ak+1 ⊂ Ak (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {An , n ≥ 1} 
ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ) ñëåäóåò
                      ∞
                      X
                 S=         [P (Ak ) − P (Ak+1 )] = P (A1 ) ≤ 1.
                      k=1

Èòàê, ðÿä ñõîäèòñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, åãî îñòàòî÷íûé ÷ëåí P (An ) → 0,
êîãäà n → ∞.
   Îïðåäåëåíèå 2.4 ïîñòóëèðóåò, ÷òî P åñòü íîðìèðîâàííàÿ ñ÷åòíî àääè-
òèâíàÿ ìåðà íà áóëåâîé àëãåáðå A ïîäìíîæåñòâ (ñîáûòèé) ïðîñòðàíñòâà
ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω. Ïîñêîëüêó íàì ïðèäåòñÿ äîâîëüíî ÷àñòî âû÷èñ-
ëÿòü âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèé áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé, à òàêèå îáú-
åäèíåíèÿ íå îáÿçàòåëüíî ïðèíàäëåæàò A, òî åñòåñòâåííî, êàê ýòî ïðèíÿòî
â òåîðèè ìåðû, ðàñøèðèòü áóëåâó àëãåáðó A, âêëþ÷èâ â íåå ïðåäåëû ìî-
íîòîííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åå ýëåìåíòîâ, ïîñëå ÷åãî ïðîäîëæèòü âåðî-
ÿòíîñòü P íà ðàñøèðåííûé òàêèì îáðàçîì êëàññ ïîäìíîæåñòâ Ω.
  Îïðåäåëåíèå 2.5. Ñîâîêóïíîñòü A ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω íàçû-
âàåòñÿ áóëåâîé σ -àëãåáðîé, åñëè
  (A1) Ω ∈ A,
  (A2) A ∈ A =⇒ Ac ∈ A,
                           S
  (A3)S {An , n ≥ 1} ⊂ A =⇒ ∞1 A n ∈ A.
   Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî äâîéñòâåííîñòè ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ïðåä-
ëîæåíèÿ 2.1, ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî áóëåâà σ -àëãåáðà çàìêíóòà íå òîëüêî
îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ ñ÷åòíîãî ÷èñëà ñâîèõ ýëåìåíòîâ, íî è îòíîñè-
òåëüíî èõ ïåðåñå÷åíèÿ.
   Âñåãäà ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ïðî-
ñòðàíñòâà Ω, íàïðèìåð, òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü P(Ω) âñåâîçìîæ-
íûõ ïîäìíîæåñòâ Ω, âêëþ÷àÿ  (ñàìàÿ òîíêàÿ áóëåâà àëãåáðà  ñì. ïðè-

                                         25

Страницы