Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{A
n
, n ≥ 1}
σ
P
Ã
∞
X
1
A
n
!
=
∞
X
1
P (A
n
);
P (
S
∞
1
A
n
) ≤
X
∞
1
P (A
n
) σ
(P 2)
(P 1), 1 = P (Ω) = P (Ω + ) = P (Ω) + P ( ) = 1 + P ( ),
P ( ) = 0.
(P 2), 1 = P (Ω) = P (A +
A
c
) = P (A) + P (A
c
), P (A
c
) = 1 − P (A).
B = A + (B \ A), (P 2), P (B) = P (A) +
P (B \A), P (B \A) = P (B) −P (A). P (B \A) ≥ 0,
P (A) ≤ P (B).
A∪B = A +(B \(A ∩B)), A∩B ⊂ B,
P (A ∪ B) = P (A) +
P (B \(A ∩ B)) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
n = 2
P (A
1
∪A
2
) = P (A
1
)+P (A
2
)−P (A
1
∩A
2
) ≤ P (A
1
)+P (A
2
).
n, n + 1,
n+1
[
1
A
i
=
Ã
n
[
1
A
i
!
∪ A
n+1
.
A
n
↓ A, A
n
\ A ↓ ,
A
n
= A + (A
n
\A) (P 2)
(P 3) P. A
n
↑ A
A = A
n
+ (A \ A
n
).
σ
(P 2)
P
Ã
∞
X
1
A
k
!
= P
Ã
lim
n→∞
↑
n
X
1
A
k
!
= lim
n→∞
P
Ã
n
X
1
A
k
!
=
   (7) åñëè {An , n ≥ 1}  áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåñîâìåñòíûõ
ñîáûòèé, òî èìååò ìåñòî ñâîéñòâî σ -àääèòèâíîñòè
                                          Ã∞           !       ∞
                                           X                   X
                                      P           An       =         P (An );
                                              1                1
         S∞                   X∞
  (8) P (       1   An ) ≤            P (An ) (ñâîéñòâî σ -ïîëóàääèòèâíîñòè.)
                                  1
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (1) Èñïîëüçóÿ â íóæíîì ìåñòå àêñèîìû (P 2) è
(P 1), ïîëó÷àåì 1 = P (Ω) = P (Ω + ) = P (Ω) + P () = 1 + P (), îòêóäà
P () = 0.
   (2) Èñïîëüçóÿ àêñèîìó àääèòèâíîñòè (P 2), èìååì 1 = P (Ω) = P (A +
Ac ) = P (A) + P (Ac ), îòêóäà P (Ac ) = 1 − P (A).
   (3) Òàê êàê B = A + (B \ A), òî, â ñèëó (P 2), P (B) = P (A) +
P (B \ A), îòêóäà P (B \ A) = P (B) − P (A). Ïîñêîëüêó P (B \ A) ≥ 0, òî èç
ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âûòåêàåò ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè P (A) ≤ P (B).
   (4) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî A ∪ B = A + (B \ (A ∩ B)), è ïîñêîëüêó A ∩ B ⊂ B,
òî â ñèëó àêñèîìû àääèòèâíîñòè è äîêàçàííîãî ñâîéñòâà (3) ìîíîòîííîñòè
âåðîÿòíîñòè ïîëó÷àåì P (A ∪ B) = P (A) +
P (B \ (A ∩ B)) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
   (5) Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ïî èíäóêöèè. Ïðè n = 2 èç äîêàçàííîãî
ñâîéñòâà (4) ñèëüíîé àääèòèâíîñòè è ïîëîæèòåëüíîñòè âåðîÿòíîñòè âûòå-
êàåò, ÷òî P (A1 ∪A2 ) = P (A1 )+P (A2 )−P (A1 ∩A2 ) ≤ P (A1 )+P (A2 ). Òåïåðü,
ïîëàãàÿ, ÷òî äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî èìååò ìåñòî äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî
n, óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ n + 1, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå
                           n+1
                                    Ãn     !
                           [          [
                               Ai =      Ai ∪ An+1 .
                                      1                1

   (6) Åñëè An ↓ A, òî An \ A ↓ , è òðåáóåìîå ñâîéñòâî âûòåêàåò èç ïðåä-
ñòàâëåíèÿ An = A + (An \ A) è àêñèîì àääèòèâíîñòè (P 2) è íåïðåðûâíîñòè
(P 3) âåðîÿòíîñòè P. Ñëó÷àé An ↑ A ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî è ïðè
ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå A = An + (A \ An ).
   (7) Ñâîéñòâî σ -àääèòèâíîñòè âûòåêàåò èç äîêàçàííîãî ñâîéñòâà (6) è
ñâîéñòâà (P 2) êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè:
                Ã   ∞
                              !           Ã            n
                                                                 !              Ã   n
                                                                                             !
                    X                                  X                            X
            P            Ak       =P          lim ↑         Ak       = lim P            Ak       =
                                              n→∞                       n→∞
                     1                                 1                            1


                                                       23

Страницы