Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P(Ω) Ω
A ∈ Ω.
A = { , Ω}
A : A = { , Ω, A, A
c
}
P A
Ω A
(P 1) P (Ω) = 1;
(P 2) A
1
, . . . , A
n
P
Ã
n
X
1
A
i
!
=
n
X
1
P (A
i
);
(P 3) {A
n
, n ≥ 1}
A
T
∞
1
A
n
=
A
n
↓ , n → ∞
lim
n→∞
P (A
n
) = 0.
A.
P A
P ( ) = 0;
P (A
c
) = 1 − P (A);
A ⊂ B, P (A) ≤ P (B)
P (B \A) = P (B) −P (A);
P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B)
P (
S
n
1
A
i
) ≤
X
n
1
P (A
i
)
A
n
↓ A A
n
↑ A,
lim
n→∞
P (A
n
) = P (A);
   Ï ð è ì å ð û á ó ë å â û õ à ë ã å á ð. 1. Ñàìàÿ òîíêàÿ áóëåâà àëãåáðà:
ìíîæåñòâî P(Ω) âñåâîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω, âêëþ÷àÿ ïó-
ñòîå ìíîæåñòâî , êàê ïîäìíîæåñòâî ëþáîãî A ∈ Ω. 2. Ñàìàÿ ãðó-
áàÿ áóëåâà àëãåáðà A = {, Ω}. 3. Áóëåâà àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ñîáûòèåì
A : A = {, Ω, A, Ac }.
  Îïðåäåëåíèå 2.3. Âåðîÿòíîñòüþ P íà áóëåâîé àëãåáðå A ïîäìíîæåñòâ
Ω íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå A â îòðåçîê [0; 1], îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
   (P 1) íîðìèðóåìîñòü: P (Ω) = 1;
   (P 2) êîíå÷íàÿ àääèòèâíîñòü: åñëè ñîáûòèÿ A1 , . . . , An íåñîâìåñòíû, òî
                          Ã n    !     n
                           X          X
                        P      Ai =      P (Ai );
                               1          1

  (P 3) íåïðåðûâíîñòü: åñëè {An , n ≥ 1}  ìîíîòîííî  óáûâàþùàÿ ïî
                                             T∞
âêëþ÷åíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ èç A è 1 An =  (â ýòîì ñëó÷àå
ïèøóò An ↓ , êîãäà n → ∞), òî

                               lim P (An ) = 0.
                              n→∞



  Â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ñîáûòèÿ ïðèíàäëå-
æàò áóëåâîé àëãåáðå A.
  Ïðåäëîæåíèå 2.2. Âåðîÿòíîñòü P íà áóëåâîé àëãåáðå A îáëàäàåò ñëå-
äóþùèìè ñâîéñòâàìè:
  (1) P () = 0;
  (2) P (Ac ) = 1 − P (A);
  (3) åñëè A ⊂ B, òî P (A) ≤ P (B) (ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè) è
P (B \ A) = P (B) − P (A);
   (4) P (A∪B) = PX (A)+P (B)−P (A∩B) (ñâîéñòâî ñèëüíîé àääèòèâíîñòè);
          Sn          n
   (5) P ( 1 Ai ) ≤     P (Ai ) (ñâîéñòâî ïîëóàääèòèâíîñòè);
                      1
   (6) åñëè An ↓ A èëè An ↑ A, òî ñïðàâåäëèâî ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè
îòíîñèòåëüíî ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè

                            lim P (An ) = P (A);
                            n→∞




                                     22

Страницы