Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(
[
I
A
i
)
c
=
\
I
A
c
i
, (
\
I
A
i
)
c
=
[
I
A
c
i
.
A
∪
∩
B = B
∪
∩
A
(A
∪
∩
B)
∪
∩
C = A
∪
∩
(B
∪
∩
C) B ∩(∪
I
A
i
) = ∪
I
(A
i
∩B)
A ⊂ B
Ω
A = B A ⊂ B B ⊂ A
A
Ω
(A1) Ω ∈ A
(A2) A ∈ A =⇒ A
c
∈ A
(A3) A, B ∈ A =⇒ A ∪ B ∈ A
A
∈ A,
A
1
, . . . , A
n
∈ A =⇒
S
n
1
A
i
∈ A,
T
n
1
A
i
∈ A,
A, B ∈ A =⇒ A \ B ∈ A.
= Ω
c
, (A1) (A2) ∈ A.
n =
1, 2, . . . {A
i
, i = 1, . . . , n} ⊂ A
S
n
1
A
i
∈ A n − 1
(A3)
{A
i
, i = 1, n} ⊂ A =⇒
T
n
1
A
i
∈ A
{A
c
i
, i = 1, n} ⊂ A =⇒
S
n
1
A
c
i
= (
T
n
1
A
i
)
c
∈ A =⇒
T
n
1
A
i
= [(
T
n
1
A
i
)
c
]
c
∈ A.
A \ B =
A ∩ B
c
ω
B A
Ω,
   Èìååò ìåñòî ïðàâèëî äâîéñòâåííîñòè:
                    [       \                \       [
                         c
                   ( Ai ) =   Aci ,               c
                                            ( Ai ) =   Aci .
                     I          I            I          I

    Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ îáëàäàþò ñâîéñòâà-
ìè êîììóòàòèâíîñòè A ∪∩ B = B ∪∩ A, àññîöèàòèâíîñòè
(A ∪∩ B) ∪∩ C = A ∪∩ (B ∪∩ C) è äèñòðèáóòèâíîñòè B ∩ (∪I Ai ) = ∪I (Ai ∩ B). Îòíî-
øåíèå ïðèíàäëåæíîñòè A ⊂ B ïîðîæäàåò ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà ïîäìíî-
æåñòâàõ ïðîñòðàíñòâà Ω, òàê ÷òî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè (ðàâåíñòâà)
A = B äâóõ ñîáûòèé îçíà÷àåò, ÷òî îäíîâðåìåííî A ⊂ B è B ⊂ A. Ââå-
äåííûå âûøå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè îïðåäåëÿþò ñòðóêòóðó áóëåâîé
àëãåáðû: èìååò ìåñòî
   Îïðåäåëåíèå 2.2. Áóëåâîé àëãåáðîé íàçûâàåòñÿ òàêîé êëàññ A ïîäìíî-
æåñòâ Ω, ÷òî
   (A1) Ω ∈ A,
   (A2) A ∈ A =⇒ Ac ∈ A,
   (A3) A, B ∈ A =⇒ A ∪ B ∈ A.

                                                                       Ëåêöèÿ 3

   Ïðåäëîæåíèå 2.1. Åñëè A  áóëåâà àëãåáðà, òî
   (1)  ∈ A,
                             Sn        Tn
   (2) A1 , . . . , An ∈ A =⇒ 1 Ai ∈ A, 1 Ai ∈ A,
   (3) A, B ∈ A =⇒ A \ B ∈ A.
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (1) Òàê êàê  = Ωc , òî â ñèëó (A1) è (A2)  ∈ A.
    (2) Èñïîëüçóÿ ìåòîä èíäóêöèè, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî n =
                                                             S
1, 2, . . . âêëþ÷åíèå {Ai , i = 1, . . . , n} ⊂ A âëå÷åò n1 Ai ∈ A (n − 1 ðàç
èñïîëüçóåòñÿ àêñèîìà (A3) áóëåâîé àëãåáðû). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ïðàâè-
                                                                    Tn
ëà äâîéñòâåííîñòè âûòåêàåò, ÷òî {Ai , i = 1, n} ⊂ A =⇒ 1 Ai ∈ A, èáî
                       S          T               T          T
{Aci , i = 1, n} ⊂ A =⇒ n1 Aci = ( n1 Ai )c ∈ A =⇒ n1 Ai = [( n1 Ai )c ]c ∈ A.
  (3) Ýòî ñâîéñòâî íåìåäëåííî ñëåäóåò èç î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà A \ B =
A ∩ B c (ðàçíîñòü ìíîæåñòâ îçíà÷àåò, ÷òî ω îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæèò
äîïîëíåíèþ ìíîæåñòâà B è ìíîæåñòâó A).
   Òàêèì îáðàçîì, áóëåâà àëãåáðà ñîäåðæèò åäèíèöó Ω, íîëü  è çàìêíó-
òà îòíîñèòåëüíî êîíå÷íîãî ÷èñëà îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è âû-
÷èòàíèÿ (âçÿòèÿ äîïîëíåíèÿ).

                                       21

Страницы