Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
n
X
1
P (A
k
) =
∞
X
1
P (A
k
).
P
Ã
∞
[
1
A
k
!
= P
Ã
lim
n→∞
↑
n
[
1
A
k
!
= lim
n→∞
P
Ã
n
[
1
A
k
!
≤
lim
n→∞
n
X
1
P (A
k
) =
∞
X
1
P (A
k
).
σ
(P 2) (P 3).
P A
Ω A
(P 1) P(Ω) = 1,
(P 2
0
) σ
X
∞
1
A
n
{A
n
, n ≥ 1} A,
P
Ã
∞
X
1
A
n
!
=
∞
X
1
P (A
n
).
P
A
(P 2) (P 3) (P 2
0
)
σ
P.
A
n
↓ ; P (A
n
) → 0, n → ∞ .
A
n
A
n
=
∞
X
k=n
(A
k
\ A
k+1
).
                                    n
                                    X                    ∞
                                                         X
                              lim           P (Ak ) =                P (Ak ).
                              n→∞
                                        1                        1
   (8) Èñïîëüçóÿ, êàê è â (7), ñâîéñòâî (6), à òàêæå ñâîéñòâî ïîëóàääèòèâ-
íîñòè (5), ïîëó÷àåì
                Ã∞        !         à           n
                                                             !                  Ãn        !
                 [                              [                                [
            P        Ak       =P        lim ↑           Ak           = lim P         Ak       ≤
                                    n→∞                               n→∞
                 1                                 1                             1

                                    n
                                    X                    ∞
                                                         X
                              lim           P (Ak ) =                P (Ak ).
                              n→∞
                                        1                        1


   Èç äîêàçàííûõ ñâîéñòâ âåðîÿòíîñòè ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå
íà ñâîéñòâî (7) σ -àääèòèâíîñòè. Äåëî â òîì, ÷òî ýòî ñâîéñòâî ÷àñòî êëà-
äåòñÿ â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè âìåñòî àêñèîì (P 2) è (P 3). Èìååò
ìåñòî
   Îïðåäåëåíèå 2.4. Âåðîÿòíîñòüþ P íà áóëåâîé àëãåáðå A ïîäìíîæåñòâ
Ω íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå A â îòðåçîê [0; 1], ÷òî
  (P 1) (íîðìèðóåìîñòü) P (Ω) = 1,           X∞
  (P 20 ) (σ -àääèòèâíîñòü) åñëè îáúåäèíåíèå        An ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà
                                                  1
{An , n ≥ 1} íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ïðèíàäëåæèò áóëåâîé àëãåáðå A, òî
                          Ã∞      !    ∞
                            X         X
                        P      An =       P (An ).
                                        1                    1


   Èìååò ìåñòî
   Ïðåäëîæåíèå 2.3.Îïðåäåëåíèÿ 2.3 è 2.4 âåðîÿòíîñòè P íà áóëåâîé
àëãåáðå A ýêâèâàëåíòíû.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òî, ÷òî (P 2) è (P 3) âëå÷åò (P 20 ) áûëî óñòàíîâëåíî
â óòâåðæäåíèè (7) ïðåäëîæåíèÿ 2.2. Äîêàæåì îáðàòíîå  σ -àääèòèâíîñòü
âëå÷åò íåïðåðûâíîñòü P.
   Ïóñòü An ↓ ; òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî P (An ) → 0, êîãäà n → ∞. Ïðåä-
ñòàâèì An â âèäå îáúåäèíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé:
                                             ∞
                                             X
                                   An =            (Ak \ Ak+1 ).
                                             k=n

                                                   24

Страницы