Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

B,
σ
A
B A,
P (A |B) = P (A ∩B)/P (B) = P (A), A
B. B A,
A B P (B |A) = P (A∩B)/P (A) =
P (A)P (B)/P (A) = P (B) A B
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
A B
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
A, B P (A) >
0 P (B) > 0, P (A ∩ B) 6= P (A)P (B) A B
P (A ∩ B) = P( ) = 0,
P (A)P (B) 6= 0.
Ω = { }
   Ïîñëåäíåå óñëîâèå, êàñàþùååñÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ B, ÿâëÿåòñÿ âåñü-
ìà âàæíûì â äàííîì îïðåäåëåíèè óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè, è ìû ïîêà íå
ðàñïîëàãàåì òåõíè÷åñêèìè âîçìîæíîñòÿìè äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âå-
ðîÿòíîñòè îòíîñèòåëüíî ñîáûòèÿ ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ åãî îñóùåñòâëå-
íèÿ. Ñòàíîâëåíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé êàê ìàòåìàòè÷åñêîé äèñöèïëèíû âî
ìíîãîì áûëî ñâÿçàíî ñ ïîïûòêîé äàòü êîððåêòíîå îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âå-
ðîÿòíîñòè îòíîñèòåëüíî ëþáîãî ýëåìåíòà σ -àëãåáðû, è èìåííî ýòî óäàëîñü
ñäåëàòü Àíäðåþ Íèêîëàåâè÷ó Êîëìîãîðîâó â 20-õ ãîäàõ XX ñòîëåòèÿ, ÷òî
ïðèâåëî ê èñêëþ÷èòåëüíî áóðíîìó ðàçâèòèþ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèñöèïëèí è
ðàñøèðåíèþ îáëàñòè èõ ïðèìåíåíèÿ.
   Ââåäåì òåïåðü îäíî èç âàæíåéøèõ ïîíÿòèé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, êî-
òîðîå, ïî ñóùåñòâó, âûäåëÿåò åå â ñàìîñòîÿòåëüíóþ äèñöèïëèíó èç îáùåé
òåîðèè ìåðû. Åñëè îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A îò-
íîñèòåëüíî ñîáûòèÿ B ðàâíà áåçóñëîâíîé âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A, òî åñòü
P (A | B) = P (A ∩ B)/P (B) = P (A), òî åñòåñòâåííî ñêàçàòü, ÷òî A íå çàâè-
ñèò îò B. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå è B íå çàâèñèò îò A, òî åñòü ñî-
áûòèÿ A è B âçàèìíî íåçàâèñèìû, ïîñêîëüêó P (B | A) = P (A∩B)/P (A) =
P (A)P (B)/P (A) = P (B) è, â ñèëó íåçàâèñèìîñòè A îò B (ñì. ïðåäûäó-
ùåå ðàâåíñòâî), P (A ∩ B) = P (A)P (B). Èòàê, ìû ïðèøëè ê ñëåäóþùåìó
îïðåäåëåíèþ âçàèìíîé íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé.
  Îïðåäåëåíèå 3.2. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè
                          P (A ∩ B) = P (A)P (B).


   Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ çàâèñèìû. Äåéñòâèòåëüíî, ñïðà-
âåäëèâî
  Ïðåäëîæåíèå 3.1. Åñëè A, B  íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ, ïðè÷åì P (A) >
0 è P (B) > 0, òî P (A ∩ B) 6= P (A)P (B) (ñîáûòèÿ A è B çàâèñèìû).
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé âåðîÿòíîñòü èõ îäíî-
âðåìåííîãî ïîÿâëåíèÿ P (A ∩ B) = P () = 0, è, â òî æå âðåìÿ, â ñèëó
íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ êàæäîãî èç ñîáûòèé, P (A)P (B) 6= 0.
  Ïðèâåäåì ïðèìåð íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé.
   Ï ð è ì å ð 3.1. Îáðàòèìñÿ ê ýêñïåðèìåíòó ñ äâóêðàòíûì ïîäáðàñûâàíè-
åì ïðàâèëüíîé ìîíåòû (ñì. ïðèìåð 1.2), â êîòîðîì ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàð-
íûõ èñõîäîâ Ω = {ÃÃ,ÃÐ,ÐÃ,ÐÐ} íàäåëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì

                                     28

Страницы