Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A, B C
P (A ∩ B) = p( ) = 1/4 = P (A)P (B),
(Ω, A, P )
σ A
1
, . . . , A
n
σ A
A
1
, . . . , A
n
P
Ã
n
\
1
A
i
!
=
n
Y
1
P (A
i
). (1)
A
i
= Ω
Ω σ A.
n
A
Ω 2
n
.
{P (A), A ∈ A} A
P (A)
A, 2
n
. n
A
1
, . . . , A
n
A, A
i
A
i
i A
c
i
A
i
= {A
i
, A
c
i
, Ω, }, i = 1, . . . , n.
B
1
, . . . , B
n
   Â òî æå âðåìÿ ñîáûòèÿ A, B è C ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Äåéñòâèòåëü-
íî, P (A ∩ B) = p(ì) = 1/4 = P (A)P (B), è òî÷íî òàêèå æå ðàâåíñòâà
ñïðàâåäëèâû äëÿ îñòàëüíûõ ïàð ñîáûòèé.
   Ðàñïðîñòðàíèì òåïåðü ïîíÿòèå íåçàâèñèìîñòè íà êëàññû ñîáûòèé. Ôèê-
ñèðóåì íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, A, P ) è ââåäåì
   Îïðåäåëåíèå 3.4. Áóëåâû ïîäàëãåáðû (èëè σ -ïîäàëãåáðû)            A1 , . . . , An
áóëåâîé σ -àëãåáðû A íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè äëÿ
ëþáîãî íàáîðà ñîáûòèé A1 , . . . , An èç ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãåáð âûïîëíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî                   Ã         !
                               n
                               \              n
                                              Y
                           P        Ai   =        P (Ai ).                     (1)
                                1             1


   Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå áóëåâûõ ïîäàëãåáð ôîðìóëà (1), îïðåäåëÿþùàÿ
èõ íåçàâèñèìîñòü, ñîäåðæèò ñîáûòèÿ, âçÿòûå îäíîâðåìåííî èç âñåõ àëãåáð,
 íå ðàññìàòðèâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå ðàçëè÷íûå íàáîðû ïîäàëãåáð. Òàêèå
íàáîðû â (1) ïîëó÷àþòñÿ àâòîìàòè÷åñêè, åñëè íåêîòîðûå èç Ai = Ω, à
äîñòîâåðíîå ñîáûòèå Ω ïðèíàäëåæèò âñåì ïîäàëãåáðàì σ -àëãåáðû A.
    Ï ð è ì å ð 3.3 (íåçàâèñèìûõ áóëåâûõ ïîäàëãåáð). Îïðåäåëåíèå íåçàâèñè-
ìîñòè áóëåâûõ àëãåáð ïîçâîëÿåò äàòü ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå
íåçàâèñèìîñòè ðåçóëüòàòà î÷åðåäíîãî èñïûòàíèÿ ïðàâèëüíîé ìîíåòû îò òî-
ãî, êàêèìè èñõîäàìè çàêîí÷èëèñü ïðåäûäóùèå èñïûòàíèÿ, èëè îò òîãî, ÷òî
áóäåò â áóäóùåì. Ðàññìîòðèì, êàê è â ïðèìåðå 1.5, ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñïå-
ðèìåíò, â êîòîðîì ðåãèñòðèðóþòñÿ ðåçóëüòàòû n èñïûòàíèé ïðàâèëüíîé
ìîíåòû. Ïóñòü A  áóëåâà àëãåáðà âñåâîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàí-
ñòâà Ω ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ýòîãî ýêñïåðèìåíòà, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî 2n .
 ñîîòâåòñòâèè ñ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ, îáîñíîâàíèå êîòîðîé áûëî äà-
íî ⠟1, ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé {P (A), A ∈ A} íà áóëåâîé àëãåáðå A
îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: P (A) ðàâíà ÷èñëó ýëåìåíòàðíûõ èñõî-
äîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â ñîáûòèè A, ïîäåëåííîå íà 2n . Ðàññìîòðèì n ïîäàëãåáð
A1 , . . . , An áóëåâîé àëãåáðû A, ãäå Ai ïîðîæäàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè ñî-
áûòèÿìè Ai  ïðè i-îì èñïûòàíèè âûïàë ãåðá è Aci  âûïàëà ðåøêà, òî åñòü
Ai = {Ai , Aci , Ω, }, i = 1, . . . , n. Ïîêàæåì, ÷òî ýòè ïîäàëãåáðû íåçàâèñèìû
â ñîâîêóïíîñòè.
    Ïóñòü B1 , . . . , Bn  íåêîòîðûé íàáîð ýëåìåíòîâ (ñîáûòèé) èç ñîîòâåò-



                                         30

Страницы