Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ω,
X = X(ω)
P σ A Ω.
X = X(ω)
(Ω, A, P ). X
R,
X
σ R,
R.
σ B
(−∞, x).
(R, B) X
P
X
B P A.
B ∈ B X
−1
(B) = {ω : X(ω) ∈ B} ⊂ Ω.
X
−1
(B) ∈ A,
X B P
X
(B) = P (X
−1
(B)).
X
−1
(B) ∈ A B ∈ B,
R.
X = X(ω)
(Ω, A)
      Ÿ4. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
                                                               Ëåêöèÿ 6
     ïðèìåíåíèÿõ ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èññëåäîâàòåëü ÷àùå âñåãî
èìååò äåëî ñ ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè íàáëþäàåìîãî îáúåêòà, êîòî-
ðûå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ  ñîñòîÿíèé îáúåêòà. Ïðè
èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ õàðàêòåðèñòèê âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëü-
ñòâî, ÷òî âñå îíè îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå Ω, è åñëè
ìû ïðèñòóïàåì ê ïîñòðîåíèþ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè, íà îñíîâàíèè êîòîðîé
áóäåò ïîëó÷åíî ðàñïðåäåëåíèå íàáëþäàåìîé õàðàêòåðèñòèêè X = X(ω), òî
ìû äîëæíû ïîíèìàòü, ÷òî ýòî ðàñïðåäåëåíèå èíäóöèðîâàíî èñõîäíûì ðàñ-
ïðåäåëåíèåì P íà σ -àëãåáðå A ïîäìíîæåñòâ Ω. Íàïîìíèì, ÷òî òàêîãî ðîäà
ïîñòðîåíèÿ ïðîâîäèëèñü ïðè âûâîäå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî è áèíîìèàëü-
íîãî ðàñïðåäåëåíèé.
    Èòàê, ìû ïðèñòóïàåì ê òåîðèè ðàñïðåäåëåíèé ôóíêöèé X = X(ω) íà
ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ôèêñèðóÿ íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå
ïðîñòðàíñòâî (Ω, A, P ). Îáëàñòüþ çíà÷åíèé ôóíêöèè X ñëóæèò ýâêëèäîâî
ïðîñòðàíñòâî R, è ýòî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ íîâûì ïðîñòðàíñòâîì ýëå-
ìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Ïîñêîëüêó íàñ, â îñíîâíîì, áóäóò èíòåðåñîâàòü âåðî-
ÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèé X â èíòåðâàëû, òî åñòåñòâåííî ðàññìîòðåòü
áóëåâó σ - àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ R, ïîðîæäåííóþ âñåâîçìîæíûìè èíòåð-
âàëàìè íà ïðÿìîé R. Êàê íàì èçâåñòíî èç îáùåãî êóðñà àíàëèçà, òàêàÿ
σ -àëãåáðà B, ñîñòîÿùàÿ èç âñåâîçìîæíûõ îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèé ñ÷åò-
íîãî ÷èñëà èíòåðâàëîâ, íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêèì ïîëåì, è äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ
äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü îòêðûòûå èíòåðâàëû âèäà (−∞, x).
    Ââåäåì èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî (R, B) çíà÷åíèé X è ðàññìîòðèì ñëå-
äóþùèé, ñîâåðøåííî åñòåñòâåííûé ìåòîä íàâåäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ P X
íà B ïîñðåäñòâîì âåðîÿòíîñòè P íà A. Êàæäîìó áîðåëåâñêîìó ìíîæåñòâó
B ∈ B ñîïîñòàâèì åãî ïðîîáðàç X −1 (B) = {ω : X(ω) ∈ B} ⊂ Ω. Åñëè
X −1 (B) ∈ A, òî åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèÿ
X â B êàê P X (B) = P (X −1 (B)). Ôóíêöèè, êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâîì
X −1 (B) ∈ A ïðè ëþáîì B ∈ B, íàçûâàþòñÿ èçìåðèìûìè, è â äàëüíåé-
øåì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî òàêèå õàðàêòåðèñòèêè íàáëþäàåìîãî
îáúåêòà. Ìû ïîäîøëè ê îñíîâíîìó ïîíÿòèþ òåîðèè ðàñïðåäåëåíèé íà ïîä-
ìíîæåñòâàõ R.
  Îïðåäåëåíèå 4.1. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X = X(ω) íàçûâàåòñÿ èçìå-
ðèìîå îòîáðàæåíèå èçìåðèìîãî ïðîñòðàíñòâà (Ω, A) íà áîðåëåâñêóþ ïðÿ-

                                   39

Страницы