Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(R, B).
X
X.
B, X,
P (B), B ∈ B
B
(−∞, x) X < x
X.
B,
F (x) = P (X < x), x ∈ R,
R,
B
σ
R.
F (x) = P (X < x),
R,
X.
X
x = −1 x = +1
X
ìóþ (R, B).
   Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, ìû ìîã-
ëè áû íå îáðàùàòüñÿ ê îïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êàê èçìåðèìîé
ôóíêöèè, à ïðîñòî ñêàçàòü, ÷òî ñåé÷àñ ìû çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì âåðî-
ÿòíîñòíûõ ìîäåëåé, â êîòîðûõ ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ åñòü
÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Òåì íå ìåíåå, ÷òîáû îïèñàòü êëàññ âîçìîæíûõ ðàñïðå-
äåëåíèé íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X èíîãäà ïðîñòî íåîáõîäèìî
çíàòü ïðè÷èíó èçìåí÷èâîñòè ñîñòîÿíèé îáúåêòà (èëè èíñòðóìåíòà èññëåäî-
âàíèÿ), êîòîðàÿ îáóñëàâëèâàåò ðàçíûå çíà÷åíèÿ â ïîâòîðíûõ íàáëþäåíèÿõ
X.
   Áîðåëåâñêîå ïîëå B, íà êîòîðîì áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðàñïðåäåëåíèå X,
ÿâëÿåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíûì îáúåêòîì ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòðîåíèé åãî ýëå-
ìåíòîâ, ïîýòîìó çàäàíèå ôóíêöèè P (B), B ∈ B ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñîâåðøåí-
íî íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìîé. Îäíàêî ìû çíàåì, ÷òî B ïîðîæäàåòñÿ èíòåð-
âàëàìè âèäà (−∞, x) (ñîáûòèÿìè X < x), è ýòî óêàçûâàåò ïðîñòîé ïóòü ê
çàäàíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. ×òî åñëè íà÷àòü ñ çàäàíèÿ
âåðîÿòíîñòè òîëüêî íà ñîáûòèÿõ, ïîðîæäàþùèõ B, òî åñòü ñ îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèè F (x) = P (X < x), x ∈ R, ïîòîì ðàñïðîñòðàíèòü åå àääèòèâíûì
îáðàçîì íà áóëåâó àëãåáðó êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé âñåâîçìîæíûõ èíòåðâà-
ëîâ íà R, ïîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ
íà áóëåâîé àëãåáðå îáëàäàåò ñâîéñòâîì íåïðåðûâíîñòè îòíîñèòåëüíî ìîíî-
òîííî óáûâàþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñîáûòèé (ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ)
è, íàêîíåö, çàêîí÷èòü ïîñòðîåíèå âåðîÿòíîñòè íà B ññûëêîé íà òåîðåìó îá
åäèíñòâåííîñòè ïðîäîëæåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñ áóëåâîé àëãåáðû îáúåäèíåíèé
èíòåðâàëîâ íà ïîðîæäåííóþ ýòîé àëãåáðîé σ -àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ïîäìíî-
æåñòâ R.
   Ìû ïðèñòóïàåì ê ðåàëèçàöèè ýòîé ïðîãðàììû è ââåäåì ñíà÷àëà
     Îïðåäåëåíèå 4.2. Ôóíêöèÿ F (x) = P (X < x), îïðåäåëåííàÿ íà âñåé
÷èñëîâîé ïðÿìîé R, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû X.
   Ï ð è ì å ð 4.1. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïðèíèìàåò ñ íåíóëåâîé âå-
ðîÿòíîñòüþ âñåãî äâà çíà÷åíèÿ: x = −1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2 è x = +1 ñ òîé
æå âåðîÿòíîñòüþ 1/2 (èãðà â îðëÿíêó ñî ñòàâêîé 1 ðóáëü). Òîãäà ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ X èìååò ñëåäóþùèé âèä.




                                   40

Страницы