Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
n
↑ R(= Ω), x
n
% +∞. F (x
n
) = P (X < x
n
) = P (A
n
),
(F 1) (P 3) P.
(F 2). x
1
≤ x
2
, F (x
1
) ≤ F (x
2
), A
1
= (−∞, x
1
) ⊂ A
2
=
(−∞, x
2
)
F (x
1
) = P (A
1
) ≤ P (A
2
) = F (x
2
).
(F 3). x
n
↑ x n → ∞,
A
n
= (−∞, x
n
) ↑ A = (−∞, x).
(P 3) P, F (x
n
) = P (A
n
) →
P (A) = F(x),
F (x).
(F 4). A ⊂ B, P (B \ A) = P (B) − P (A)
[ a, b ] =
(−∞, b ] \(−∞, a ), (−∞, a) ⊂ (−∞, b ], P {X ∈
[ a, b ]} = P {X ∈ (−∞, b ]} − P {X ∈ (−∞, a)} = P (X ≤ b) − P (X < a) =
F (b+) − F (a). F (b+)
{X ≤ b}. P (X < b) =
F (b), b F (x)
F (b+) − F (b).
(F 5).
F (x)
{A
n
,
n ≥ 1} A
n
F (x)
1/n. 0 ≤ F (x) ≤ 1, A
n
n
F (x)
A
1
, A
2
F (x)
F (x)
B
B?
An ↑ R(= Ω), åñëè xn % +∞. Òàê êàê F (xn ) = P (X < xn ) = P (An ), òî
ñâîéñòâà (F 1) âûòåêàþò èç àêñèîìû íåïðåðûâíîñòè (P 3) âåðîÿòíîñòè P.
  (F 2). Åñëè x1 ≤ x2 , òî F (x1 ) ≤ F (x2 ), òàê êàê A1 = (−∞, x1 ) ⊂ A2 =
(−∞, x2 ) è, â ñèëó ñâîéñòâà ìîíîòîííîñòè âåðîÿòíîñòè (ñì. (3) â ïðåäëî-
æåíèè 2.2), F (x1 ) = P (A1 ) ≤ P (A2 ) = F (x2 ).
   (F 3). Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ↑ x ïðè n → ∞, òàê ÷òî ñîîòâåò-
ñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé An = (−∞, xn ) ↑ A = (−∞, x).
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî (P 3) íåïðåðûâíîñòè P, ïîëó÷àåì F (xn ) = P (An ) →
P (A) = F (x), ÷òî, ïî îïðåäåëåíèþ, îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ñëåâà ôóíê-
öèè F (x).
    (F 4). Åñëè A ⊂ B, òî P (B \ A) = P (B) − P (A) (ñì. (3) â ïðåäëî-
æåíèè 2.2). Èç ýòîãî ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè è òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî ñâîé-
ñòâà íåïðåðûâíîñòè âûòåêàåò, ÷òî, íàïðèìåð, çàìêíóòûé èíòåðâàë [ a, b ] =
(−∞, b ] \ (−∞, a), è ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî (−∞, a) ⊂ (−∞, b ], òî P {X ∈
[ a, b ]} = P {X ∈ (−∞, b ]} − P {X ∈ (−∞, a)} = P (X ≤ b) − P (X < a) =
F (b+) − F (a). Â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû èñïîëüçîâàëè çàïèñü F (b+) äëÿ
âûðàæåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ {X ≤ b}. Äåëî â òîì, ÷òî P (X < b) =
F (b), è åñëè â òî÷êå b ôóíêöèÿ F (x) èìååò ñêà÷îê, òî åãî âåëè÷èíà ðàâíà
F (b+) − F (b).
   (F 5).  ýòîì ïóíêòå ïðåäëîæåíèÿ óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî âñå ñêà÷êè (òî÷êè
ðàçðûâà) ôóíêöèè F (x) ìîæíî çàíóìåðîâàòü. Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðà-
çîì: ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ {An ,
n ≥ 1}, ãäå An åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè F (x) ñ âåëè÷èíîé
ñêà÷êà, íå ìåíüøåé 1/n. Ïîñêîëüêó 0 ≤ F (x) ≤ 1, òî ìíîæåñòâî An êîíå÷íî
è ñîäåðæèò íå áîëåå ÷åì n òî÷åê. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì çàíóìåðîâàòü
âñå ñêà÷êè ôóíêöèè F (x) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ èõ âåëè÷èíû, îñóùåñòâëÿÿ
ïîñëåäîâàòåëüíóþ íóìåðàöèþ òî÷åê ìíîæåñòâà A1 , ïîòîì A2 è òàê äàëåå,
âîçìîæíî, äî áåñêîíå÷íîñòè, åñëè ÷èñëî ñêà÷êîâ F (x) íå êîíå÷íî. Ïðè òà-
êîì ñïîñîáå íóìåðàöèè ëþáîìó, ñêîëü óãîäíî ìàëîìó ïî âåëè÷èíå ñêà÷êó
ôóíêöèè F (x) ðàíî èëè ïîçäíî áóäåò ïðèñâîåí íîìåð.
   Èòàê, ìû óáåäèëèñü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì è
äîñòàòî÷íî ïðîñòûì èíñòðóìåíòîì äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïîïàäà-
íèÿ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàëû íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé.
Îäíàêî, åñëè ìû îïðåäåëèì òîëüêî âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòîâ áîðåëåâñêîãî ïî-
ëÿ B, èìåþùèõ âèä èíòåðâàëîâ, òî ñìîæåì ëè íà îñíîâàíèè èõ âû÷èñëÿòü
âåðîÿòíîñòè äðóãèõ ñîáûòèé èç B? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò

                                    42

Страницы