Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x), x ∈ R,
(F 1) lim
x→−∞
F (x) = 0, lim
x→+∞
F (x) = 1;
(F 2) F (x) x ∈ R;
(F 3) F (x) lim
x→a−
F (x) = F (a).
(R, B)
P, P {(−∞, x)} = F (x) x ∈ R.
F (x) P
0
C C = C
x
= (−∞, x)
P
0
(C
x
) = F (x), (F 1), P
0
(Ω) = P
0
(R) =
1. A = A(C),
C. A A
A =
X
k
1
[ a
i
, b
i
), (F 4)
P
0
(A) =
X
k
1
[ F (b
i
) − F (a
i
) ] .
P
0
(A) A
(P 1)
(P 2). P
0
σ
P (2
0
),
σ
A
C
A
n
=
k
n
X
i=1
[ a
ni
; b
ni
), n = 1, 2, . . . ,
A =
X
∞
1
A
n
A.
A A
A =
X
m
1
[ c
j
; d
j
).
A
n
[ c
j
; d
j
) [ c
j
; d
j
) =
X
∞
1
[ a
jk
; b
jk
), j = 1, . . . , m.
c < d
F (d) − F (c) =
∞
X
j=1
[ F (b
j
) − F (a
j
) ], (1)
   Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ F (x), x ∈ R, îáëàäàåò ñâîéñòâàìè
   (F 1)   lim F (x) = 0, lim F (x) = 1;
           x→−∞               x→+∞
   (F 2) F (x)  íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ x ∈ R;
   (F 3) F (x) íåïðåðûâíà ñëåâà: lim F (x) = F (a).
                                        x→a−
   Òîãäà íà áîðåëåâñêîé ïðÿìîé (R, B) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ âåðîÿò-
íîñòü P, äëÿ êîòîðîé P {(−∞, x)} = F (x) äëÿ âñåõ x ∈ R.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ôóíêöèÿ F (x) îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ ìíîæåñòâ P 0
íà ñåìåéñòâå C îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ âèäà C = Cx = (−∞, x) ïîñðåäñòâîì
ðàâåíñòâà P 0 (Cx ) = F (x), ïðè÷åì, â ñèëó ñâîéñòâà (F 1), P 0 (Ω) = P 0 (R) =
1. Ðàñïðîñòðàíèì ýòó ôóíêöèþ ìíîæåñòâ íà áóëåâó àëãåáðó A = A(C), ïî-
ðîæäåííóþ ñåìåéñòâîì C. Ýëåìåíòû A áóëåâîé àëãåáðû A î÷åâèäíî èìåþò
           Xk
âèä A =         [ ai , bi ), è ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïîëîæèòü (ñì. (F 4) â ïðåäëî-
              1
                            Xk
                 0
æåíèè 4.1) P (A) =               [ F (bi ) − F (ai ) ] .
                               1
   Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ P 0 (A) íà áóëåâîé àëãåáðå A îáëàäàåò òà-
êèìè ñâîéñòâàìè âåðîÿòíîñòè, êàê íîðìèðóåìîñòü (P 1) è êîíå÷íàÿ àääè-
òèâíîñòü (P 2). Åñëè ìû ïîêàæåì, ÷òî P 0 îáëàäàåò ñâîéñòâîì σ -àääèòèâíîñòè
P (2 0 ), òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû áóäåò ïðîñòûì ñëåäñòâèåì îáùåé òåîðåìû
î ïðîäîëæåíèè ìåðû íà ïîðîæäåííóþ áóëåâîé àëãåáðîé σ -àëãåáðó, èáî, êàê
èçâåñòíî, áîðåëåâñêîå ïîëå ïîðîæäàåòñÿ àëãåáðîé A ( áîëåå òîãî,  ñåìåé-
ñòâîì C).
   Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ìíî-
æåñòâ
                                    Xkn
                             An =         [ ani ; bni ), n = 1, 2, . . . ,
                                i=1
                                      X∞
äëÿ êîòîðîé ìíîæåñòâî A =                   An ïðèíàäëåæèò àëãåáðå A. Ïî îïðå-
                                          1
äåëåíèþ àëãåáðû A ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî A ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå êîíå÷íîãîXmîáúåäèíåíèÿ èíòåðâàëîâ, íå èìåþùèõ òî÷åê ñîïðèêîñíî-
âåíèÿ: A =           [ cj ; dj ). Ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåñòàíîâêè èíòåðâàëîâ
                   1
âíóòðè îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ An , ìîæíî äîáèòüñÿ      X∞ äëÿ êàæäîãî èç èíòåð-
âàëîâ [ cj ; dj ) ïðåäñòàâëåíèÿ âèäà [ cj ; dj ) =       [ ajk ; bjk ), j = 1, . . . , m.
                                                       1
Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ c < d
                                         ∞
                                         X
                       F (d) − F (c) =          [ F (bj ) − F (aj ) ],               (1)
                                          j=1

                                           43

Страницы