Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[ c; d) =
X
∞
1
[ a
j
; b
j
).
F (d) − F (c) ≥
X
n
1
[ F (b
j
) − F (a
j
) ],
X
n
1
[ a
j
; b
j
) [ c, d)
n
F (d) − F (c) ≥
X
∞
1
[ F (b
j
) − F (a
j
) ].
−∞ < c < d < ∞.
ε > 0. [ c; d) [ c; d
0
]
d
0
< d F (d
0
) ≥ F (d)−ε.
F. [ a
n
; b
n
)
(a
0
n
; b
n
) a
0
n
< a
n
F (a
0
n
) ≥
F (a
n
) − ε/2
n
. [ c; d
0
] ⊂
S
∞
n=1
(a
0
n
; b
n
)
[ c; d
0
] ⊂
S
N
i=1
(a
0
n
i
; b
n
i
), a
0
n
1
< c, b
n
N
> d
0
b
n
i−1
> a
0
n
i
i = 2, . . . , N.
b
n
1
, . . . , b
n
N−1
[ a
0
n
1
, b
n
N
),
[ c, d
0
),
F (d
0
) − F (c) ≤ F (b
n
N
) − F (a
0
n
1
) = F (b
n
1
) − F (a
0
n
1
)+
N
X
i=2
[ F (b
n
i
) − F (b
n
i−1
) ] ≤
N
X
i=1
[ F (b
n
i
) − F (a
0
n
i
) ] ≤
∞
X
n=1
[ F (b
n
) − F (a
0
n
) ].
F (d) − F (c) ≤ F (d
0
) − F (c) + ε
F (b
n
) − F (a
0
n
) ≤ F (b
n
) − F (a
n
) + ε/2
n
,
F (d) − F (c) ≤
∞
X
n=1
[F (b
n
) − F (a
n
)] + 2ε. (2)
ε → 0,
[ c; ∞)
F [ c; d),
1 − F (d) ≤ ε.
[ c; ∞)
[ c; d ],
                            X∞
åñëè èíòåðâàë [ c; d) =            [ aj ; bj ).
                                1
                                      Xn
   Î÷åâèäíî, F (d) − F (c) ≥                 [ F (bj ) − F (aj ) ], èáî äîïîëíåíèå ìíîæå-
      Xn                                   1
ñòâà         [ aj ; bj ) äî èíòåðâàëà [ c, d) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîíå÷íîãî
           1
îáúåäèíåíèÿ íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ïîëóîòêðûòûõ              X∞ èíòåðâàëîâ. Óñòðåìëÿÿ n
ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷àåì F (d) − F (c) ≥                     [ F (bj ) − F (aj ) ].
                                                            1
   Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî èìååò ìåñòî ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî, è, ñëå-
äîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1).
   Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî −∞ < c < d < ∞. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå
ε > 0. Èñõîäíûé èíòåðâàë [ c; d) ñóçèì äî çàìêíóòîãî èíòåðâàëà [ c; d0 ] òàê,
÷òîáû d0 < d è F (d0 ) ≥ F (d)−ε. Ýòîãî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ â ñèëó íåïðå-
ðûâíîñòè ñëåâà ôóíêöèè F. Àíàëîãè÷íî, êàæäûé èç èíòåðâàëîâ [ an ; bn )
ðàñøèðèì äî îòêðûòîãî èíòåðâàëà (a0n ; bn ) òàê, ÷òîáû a0n < an F (a0n ) ≥
                                                                          S
F (an ) − ε/2n .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîêðûòèå [ c; d0 ] ⊂ ∞                        0
                                                                            n=1 (an ; bn ) îãðà-
íè÷åííîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà ñåìåéñòâîì îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ.
              èçâåñòíîé ëåììû Ãåéíå-Áîðåëÿ íàéäåòñÿ êîíå÷íîå ïîêðûòèå [ c; d0 ] ⊂
SNÂ ñèëó0                        0                    0             0
  i=1 (ani ; bni ), â êîòîðîì an1 < c, bnN > d è bni−1 > ani äëÿ âñåõ i = 2, . . . , N.
Òî÷êè bn1 , . . . , bnN −1 îáðàçóþò ðàçáèåíèå èíòåðâàëà [ a0n1 , bnN ), êîòîðûé ñî-
äåðæèò èíòåðâàë [ c, d0 ), è ïîýòîìó

              F (d0 ) − F (c) ≤ F (bnN ) − F (a0n1 ) = F (bn1 ) − F (a0n1 )+
   N
   X                             N
                                 X                           ∞
                                                             X
                                                    0
     [ F (bni ) − F (bni−1 ) ] ≤   [ F (bni ) − F (ani ) ] ≤   [ F (bn ) − F (a0n ) ].
    i=2                             i=1                           n=1
Èç ïîñòðîåíèÿ èíòåðâàëîâ ñëåäóåò, ÷òî F (d) − F (c) ≤ F (d0 ) − F (c) + ε è
F (bn ) − F (a0n ) ≤ F (bn ) − F (an ) + ε/2n , îòêóäà
                                          ∞
                                          X
                     F (d) − F (c) ≤            [F (bn ) − F (an )] + 2ε.                (2)
                                          n=1

Óñòðåìëÿÿ ε → 0, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà (1)
äëÿ êîíå÷íûõ èíòåðâàëîâ.
    Äëÿ áåñêîíå÷íûõ èíòåðâàëîâ âèäà [ c; ∞) äîñòàòî÷íî, âîñïîëüçîâàâøèñü
ñâîéñòâàìè ôóíêöèè F , ðàññìîòðåòü êîíå÷íûé èíòåðâàë [ c; d), óäîâëåòâî-
ðÿþùåé óñëîâèþ 1 − F (d) ≤ ε. Îòêðûòîå ïîêðûòèå èñõîäíîãî èíòåðâàëà
[ c; ∞) èíäóöèðóåò åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòêðûòîå ïîêðûòèå èíòåðâàëà
[ c; d ], ê êîòîðîìó ïðèìåíèìû âñå ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ, ïðèâîäÿùèå

                                                44

Страницы