Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X.
m,
x = m.
(N, M, n).
N
n,
X,
x
X,
X = [max(0, n − (N −M)); min(n, M)] .
F (x)
X, x X, F (x)
x, X.
X
x = m
       Ÿ5. Ïîñòðîåíèå âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé ñ ïîìîùüþ
                    ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ
                                                               Ëåêöèÿ 7

    ýòîì ïàðàãðàôå ìû áóäåì ðåøàòü íåñêîëüêî ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ íà
ïîñòðîåíèå âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé, öåëü êîòîðîãî ñîñòîèò â ñïåöèôèêàöèè
íàèáîëåå óçêîãî ñåìåéñòâà âîçìîæíûõ ðàñïðåäåëåíèé íàáëþäàåìîé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû X. Ýòè ìîäåëè íîñÿò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð è ïðèìåíÿ-
þòñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè è ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè, ïîýòî-
ìó öåëåñîîáðàçíî ïîñëå ðåøåíèÿ êàæäîé çàäà÷è ðàññìîòðåòü âîçìîæíûå
àíàëîãè ýòèõ çàäà÷, ïðèâîäÿùèå ê òåì æå âåðîÿòíîñòíûì ìîäåëÿì. Êàæ-
äîé ìîäåëè ìû ïðèñâîèì ñâîå èìÿ è àááðåâèàòóðó, ñîäåðæàùóþ ïàðàìåò-
ðû ìîäåëè; çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, êàê ïðàâèëî, íåèçâåñòíû, è îïðåäåëåíèå
ýòèõ çíà÷åíèé ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò äðóãîé, ðîäñòâåííîé òåîðèè âåðîÿòíî-
ñòåé, íàóêè  ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
   Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, ìû óæå äàâíî çàíèìàåìñÿ ïîñòðîåíèåì âåðîÿòíîñò-
íûõ ìîäåëåé ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðè-
íèìàþùèõ äèñêðåòíûé ðÿä çíà÷åíèé,  ðå÷ü èäåò î ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì
è áèíîìèàëüíîì ðàñïðåäåëåíèÿõ (ñì. Ÿ2 è Ÿ3). Âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàëà êîíêðåòíîå öåëî÷èñëåííîå çíà÷åíèå m, ðàâíà
âåëè÷èíå ñêà÷êà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â òî÷êå x = m. Ñ ýòèõ äâóõ ðàñ-
ïðåäåëåíèé ìû íà÷íåì ñîñòàâëåíèå íàøåãî êàòàëîãà âåðîÿòíîñòíûõ ìîäå-
ëåé.
  Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå GG(N, M, n). Èññëåäóåòñÿ êî-
íå÷íàÿ ïîïóëÿöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç N åäèíèö, ÷àñòü èç êîòîðûõ (Ì åäèíèö)
ïîìå÷åíû. Èç ïîïóëÿöèè èçâëåêàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà îáúåìà n, è ñ
ýòîé âûáîðêîé ñîîòíîñèòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X, íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå
x êîòîðîé óêàçûâàåò ÷èñëî ïîìå÷åííûõ åäèíèö â âûáîðêå. Îáëàñòü çíà-
÷åíèé X, êîòîðûå îíà ïðèíèìàåò ñ íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ, ñîñòàâëÿþò
öåëî÷èñëåííûå òî÷êè îòðåçêà X = [max(0, n − (N − M )); min(n, M )] .
   Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ðàâíà íóëþ â îáëàñòè, ëåæàùåé ñëåâà îò
X, è êàê òîëüêî x âûõîäèò íà ïðàâûé êîíåö îòðåçêà X, ôóíêöèÿ F (x) ïðèíè-
ìàåò çíà÷åíèå 1, êîòîðîå ñîõðàíÿåò ïðè âñåõ x, ëåæàùèõ ñïðàâà îò X. Âíó-
òðè îòðåçêà X ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñòóïåí÷àòûé âèä, âîçðàñòàÿ
ñêà÷êàìè â öåëî÷èñëåííûõ òî÷êàõ x = m, è âåëè÷èíà ñêà÷êà îïðåäåëÿåòñÿ



                                   46

Страницы