Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p
x, n.
x
n p
n p
n = 1
B(1, p)
f(x |p) = p
x
(1 − p)
1−x
, x = 0, 1.
(n, p)
GG(N, M, n), N
M N, M/N = p (= const).
n p
λ
x
X n
p
x
X
(n, p)
    ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèÿõ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îáû÷íî íå-
èçâåñòíî òîëüêî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà p  âåðîÿòíîñòè óñïåõà â èñïûòàíèÿõ
Áåðíóëëè. Îäíàêî ñóùåñòâóþò ñèòóàöèè, êîãäà ýêñïåðèìåíòàòîð ðåãèñòðè-
ðóåò òîëüêî ÷èñëî óñïåõîâ x, íå èìåÿ ñâåäåíèé î ÷èñëå èñïûòàíèé n. Íàïðè-
ìåð, â èññëåäîâàíèÿõ íåðâíîãî ñèíàïñà ïðèáîð ðåãèñòðèðóåò òîëüêî îáùåå
íàïðÿæåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, è ïî âåëè÷èíå ýòîãî íàïðÿæåíèÿ îïðå-
äåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî x ïóçûðüêîâ ñ àöåòèëõîëèíîì, îñâîáîäèâøèõñÿ ïðè
ðàçäðàæåíèè íåðâà. Íè îáùåå êîëè÷åñòâî n ïóçûðüêîâ, íè âåðîÿòíîñòü p
âûáðîñà èç ïóçûðüêà àöåòèëõîëèíà, ýêñïåðèìåíòàòîðó íåèçâåñòíû,  ïðî-
áëåìà îöåíêè ïàðàìåòðîâ n è p ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ.
   Îñîáî ñëåäóåò îòìåòèòü ÷àñòíûé ñëó÷àé áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ñ îäíèì èñïûòàíèåì (n = 1) â ñõåìå Áåðíóëëè. Ýòî òàê íàçûâàåìîå äâóõ-
òî÷å÷íîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé B(1, p) ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
                   f (x | p) = px (1 − p)1−x ,   x = 0, 1.
    Ÿ3 áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ìîäåëü B(n, p) ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ
ìîäåëè GG(N, M, n), êîãäà ðàçìåð N ïîïóëÿöèè íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò è
÷èñëî M ïîìå÷åííûõ åäèíèö ñîèçìåðèìî ñ N, òî åñòü M/N = p (= const).
Ñëåäóþùàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü, èìåþùàÿ øèðîêèå ïðàêòè÷åñêèå ïðè-
ìåíåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ áèíîìèàëüíîé ìîäåëè, êîãäà ÷èñëî ïðî-
âîäèìûõ èñïûòàíèé n âåëèêî, à âåðîÿòíîñòü p óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ ÷ðåç-
âû÷àéíî ìàëà.
  Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà P(λ). Ïðè èññëåäîâàíèè èíòåíñèâíîñòè ðà-
äèîèçëó÷åíèÿ îáû÷íî ðåãèñòðèðóåòñÿ ÷èñëî x àòîìîâ ðàäèîàêòèâíîãî ýëå-
ìåíòà, ðàñïàâøèõñÿ çà åäèíèöó âðåìåíè. Ïîâòîðíûå íàáëþäåíèÿ óêàçûâà-
þò íà çíà÷èòåëüíóþ èçìåí÷èâîñòü ÷èñëà ðàñïàâøèõñÿ àòîìîâ, è ïîýòîìó
ïðîáëåìà ñòàáèëüíîãî, íå çàâèñÿùåãî îò ñëó÷àéíûõ ôëóêòóàöèé, ïîêàçàòå-
ëÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ äîëæíà ðåøàòüñÿ â ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíî-
ñòåé.
   Ïóñòü X  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ íàáëþäàåòñÿ â ýêñïåðèìåíòå, n
 ÷èñëî àòîìîâ, èç êîòîðûõ ñîñòîèò îáðàçåö èññëåäóåìîãî ðàäèîàêòèâíîãî
ýëåìåíòà, p  âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé âîçìîæåí ðàñïàä ëþáîãî èç àòîìîâ
îáðàçöà çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ. Ñóùåñòâóþùàÿ òåîðèÿ ðàäèîàêòèâíîãî èç-
ëó÷åíèÿ óòâåðæäàåò, ÷òî àòîìû ðàñïàäàþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà,
è ïîýòîìó ðåçóëüòàò x, êîòîðûé ôèêñèðóåò ñ÷åò÷èê ðàñïàâøèõñÿ àòîìîâ,
ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñ áèíîìèàëü-
íûì çàêîíîì B(n, p) ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ðàñ-

                                      48

Страницы