Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(a, b). [ 0; 1 ]
(α; β) ∈
[ 0; 1 ] β − α
[ 0; 1 ].
X, x
X
[ 0; 1 ] n
X
[ nx ]
n
≤ F (x) ≤
[ nx ] + 1
n
,
[ t ] t.
[ 0; 1 ], 1/n
P (X < x) = F (x)
1/n, [ 0; x ].
n F (x) = x, x ∈ [ 0; 1 ].
[ 0; 1 ]
F (x) = 0 x < 0 F (x) = 1 x > 1.
U(0, 1) [ 0, 1 ].
[ 0, b ],
F (x) = x/b,
[ 0, b ], F (b+) = 1.
[ a, b ], F (a) = 0, F (b+) = 1,
F (x) = (x − a)/(b − a).
U(a, b) [ a, b ].
θ = (a, b)
Θ = {(a, b) ∈ R
2
: a < b}.
x
X U(0, 1)
ñòàíöèè; ýòîìó çàêîíó ïîä÷èíÿþòñÿ ìåòåîðíûå ÿâëåíèÿ, ïîòîêè òðàíñïîð-
òà, ðàçìåðû î÷åðåäåé ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ è ïð.
  Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå U(a, b). Íà îòðåçîê [ 0; 1 ] íàóãàä áðî-
ñàåòñÿ òî÷êà, òàê ÷òî âåðîÿòíîñòü åå ïîïàäàíèÿ â ëþáîé èíòåðâàë (α; β) ∈
[ 0; 1 ] çàâèñèò òîëüêî îò äëèíû β − α èíòåðâàëà è íå çàâèñèò îò åãî ïîëî-
æåíèÿ âíóòðè îòðåçêà [ 0; 1 ]. Ýêñïåðèìåíòàòîðà èíòåðåñóåò ðàñïðåäåëåíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, ðåàëèçóþùåé êîîðäèíàòó x òî÷êè ïîñëå áðîñàíèÿ.
    Êëþ÷ ê âûâîäó ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ X óêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ ýê-
âèâàëåíòíàÿ ôîðìóëèðîâêà óñëîâèé ýêñïåðèìåíòà: èíòåðâàëû îäèíàêîâîé
äëèíû îáëàäàþò îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ ïîïàäàíèÿ â íèõ áðîñàåìîé òî÷-
êè. Åñëè ðàçäåëèòü îòðåçîê [ 0; 1 ] íà n îäèíàêîâûõ ÷àñòåé, òî äëÿ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ X èìååò ìåñòî äâóñòîðîííÿÿ îöåíêà:
                        [ nx ]           [ nx ] + 1
                               ≤ F (x) ≤            ,
                          n                  n
ãäå [ t ]  öåëàÿ ÷àñòü t. Äåéñòâèòåëüíî, âñåì îòðåçêàì, ïîëó÷åííûì â ðå-
çóëüòàòå äåëåíèÿ [ 0; 1 ], ñîîòâåòñòâóåò îäèíàêîâàÿ âåðîÿòíîñòü, ðàâíàÿ 1/n
ïîïàäàíèÿ â íèõ òî÷êè, òàê ÷òî âåðîÿòíîñòü P (X < x) = F (x) ìîæíî îöå-
íèòü êîëè÷åñòâîì îòðåçêîâ äëèíû 1/n, ïîêðûâàþùèõ [ 0; x ]. Óñòðåìëÿÿ
òåïåðü n ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷àåì, ÷òî F (x) = x, åñëè x ∈ [ 0; 1 ]. Ïî-
ñêîëüêó âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè âî âíåøíîñòü îòðåçêà [ 0; 1 ] ðàâíà
íóëþ, òî F (x) = 0 ïðè x < 0 è F (x) = 1 ïðè x > 1.
   Èòàê, ìû ïîñòðîèëè âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ U(0, 1) íà îòðåçêå [ 0, 1 ]. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî åñëè àíàëîãè÷íûé ýêñïå-
ðèìåíò ïðîâîäèòñÿ ñ îòðåçêîì [ 0, b ], òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íà ýòîì
îòðåçêå áóäåò èìåòü âèä F (x) = x/b, òàê êàê ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè äîëæ-
íî ñîõðàíÿòüñÿ â ñèëó ïðèíöèïà ñëó÷àéíîñòè áðîñàíèÿ òî÷êè íà îòðå-
çîê [ 0, b ], è, â òî æå âðåìÿ, F (b+) = 1. Íàêîíåö, åñëè òî÷êà áðîñàåò-
ñÿ íà îòðåçîê îáùåãî âèäà [ a, b ], òî F (a) = 0, F (b+) = 1, è ïîýòîìó
F (x) = (x − a)/(b − a). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèøëè ê ðàâíîìåðíîìó ðàñ-
ïðåäåëåíèþ U(a, b) íà îòðåçêå [ a, b ]. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå çàâèñèò îò äâó-
ìåðíîãî ïàðàìåòðà θ = (a, b) ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé (ïàðàìåòðè÷åñêèì ïðî-
ñòðàíñòâîì) Θ = {(a, b) ∈ R2 : a < b}.
   Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò èíòåðåñíóþ ñâÿçü ñ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòüþ èñïûòàíèé Áåðíóëëè. Åñëè ïðåäñòàâèòü ðåàëèçàöèþ x ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû X ñ ðàñïðåäåëåíèåì U (0, 1) â âèäå äâîè÷íîé äðîáè, òî åå äðîá-
íàÿ ÷àñòü ðåàëèçóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäèêàòîðîâ óñïåõà â áåñêîíå÷íîé

                                     50

Страницы