Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p = 1/2.
θ
t
0
,
t
0
,
x
X,
F (x)
t
0
P
0
P
0
,
t
0
P (X ≥ t
0
) = 1 −F (t
0
) = P
0
.
H(t) = 1 − F (t), t ≥ 0,
t s,
s,
P {X ≥ t + s | X ≥ s} =
P ({X ≥ t + s} ∩ {X ≥ s})
P (X ≥ s)
=
P (X ≥ t + s)
P (X ≥ s)
= P (X ≥ t).
H(t)
H(t + s) = H(t)H(s), t ≥ 0, s ≥ 0. (2)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ p = 1/2. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî
ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, ÷òî äàåò îäèí èç ïðîñòåéøèõ ñïîñî-
áîâ ãåíåðèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ðàâíîìåðíûì çàêîíîì ðàñïðåäå-
ëåíèÿ.

                                                                  Ëåêöèÿ 8
  Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå E(θ). Âû, íàâåðíîå, îáðàòèëè âíè-
ìàíèå, ÷òî áîëüøèíñòâî, ïî êðàéíåé ìåðå, ñåðüåçíûõ èçäåëèé, êîòîðûå
âûïóñêàþò ïðåäïðèÿòèÿ, ñíàáæàåòñÿ ãàðàíòèéíûì ñðîêîì ñëóæáû t0 , è åñ-
ëè èçäåëèå îòêàçûâàåò äî ìîìåíòà t0 , òî ïðåäïðèÿòèå íåñåò îïðåäåëåííûå
óáûòêè, ñâÿçàííûå ñ ðåìîíòîì èëè çàìåíîé èçäåëèÿ. Åñòåñòâåííî, äîëãî-
âå÷íîñòü x (èëè, êàê ãîâîðÿò àíãëè÷àíå, ñðîê æèçíè  lifetime) ÿâëÿåò-
ñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, è òîëüêî çíàíèå åå ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ F (x) ïîçâîëèò ïðåäïðèÿòèþ óñòàíîâèòü òîò ãàðàíòèéíûé ñðîê
ñëóæáû, êîòîðûé îòâå÷àåò åãî ôèíàíñîâûì âîçìîæíîñòÿì ïî îáåñïå÷åíèþ
ðåìîíòà èëè çàìåíû. Äëÿ ðàñ÷åòà t0 íåîáõîäèìî îïðåäåëèòüñÿ ñ òðåáóåìîé
íàäåæíîñòüþ èçäåëèÿ P0  ñðåäíåé äîëåé èçäåëèé, êîòîðûå îáÿçàíû îòðà-
áîòàòü ãàðàíòèéíîå âðåìÿ. Çíàÿ íàäåæíîñòü P0 , ìû íàõîäèì ãàðàíòèéíûé
ñðîê t0 èç óðàâíåíèÿ P (X ≥ t0 ) = 1 − F (t0 ) = P0 . Â ñâÿçè ñ ýòèì ôóíêöèÿ
H(t) = 1 − F (t), t ≥ 0, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé íàäåæíîñòè.
   Îáû÷íî ïîñòðîåíèå ìîäåëè íàäåæíîñòè èçäåëèÿ îïèðàåòñÿ íà íåêîòîðûå
ïîñòóëàòû, ñâÿçàííûå ñ ôóíêöèîíèðîâàíèåì èçäåëèÿ, åãî ñòàðåíèåì, èçíî-
ñîì, ïîäâåðæåííîñòüþ óäàðíûì íàãðóçêàì è ò.ï. Ìû ðàññìîòðèì ñåé÷àñ
îäèí èç òàêèõ ïîñòóëàòîâ ïðèìåíèòåëüíî ê èçäåëèÿì, êîòîðûå îòêàçûâà-
þò íå â ñèëó ïðîöåññîâ ñòàðåíèÿ, à òîëüêî ïî ïðè÷èíå ðåçêî âîçðîñøèõ
(òàê íàçûâàåìûõ óäàðíûõ ) íàãðóçîê íà ðåæèì åãî ðàáîòû. Åñòåñòâåííî,
â òàêîé ñèòóàöèè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èçäåëèå ïðîñëóæèò åùå íåêîòîðîå
âðåìÿ t ïðè óñëîâèè, ÷òî îíî óæå îòñëóæèëî ñðîê s, íå äîëæíà çàâèñåòü
îò s, òî åñòü
                                    P ({X ≥ t + s} ∩ {X ≥ s})
          P {X ≥ t + s | X ≥ s} =                             =
                                           P (X ≥ s)
                     P (X ≥ t + s)
                                   = P (X ≥ t).
                       P (X ≥ s)
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ íàäåæíîñòè H(t) èçäåëèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
ôóíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ
                   H(t + s) = H(t)H(s),    t ≥ 0, s ≥ 0.                 (2)

                                     51

Страницы