Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λ, P(λ),
θ = 1/λ,
θ
F (x) = 0
x ≤ 0 F (x) = 1 − exp{−x/θ}, x > 0.
(p).
p
t (À 1)
n
(p = 1/2).
X
x = 1, 2, . . . ,
X = x x −1
x,
f(x |p) = P (X = x) = (1 − p)
x−1
p,
x ∈ N, f(x |p) = 0 R.
H(t) = P (X ≥ t) =
∞
X
x=t
(1 − p)
x−1
p = (1 − p)
t−1
, t ≥ 1
p
t. H(t), p = λ/N, t = Nx
N
H(Nx) =
µ
1 −
λ
N
Nx−1
→ e
−λx
.
ñâÿçàíî ñ ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà è ïàðàìåòð λ, êàê è â ìîäåëè P(λ), õà-
ðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà îòêàçîâ. Îäíàêî â òåîðèè âåðîÿòíî-
ñòåé îáû÷íî ìîäåëü ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðèçóåòñÿ èíûì
ñïîñîáîì, ÷åðåç ïàðàìåòð θ = 1/λ, êîòîðûé èìååò ñìûñë ñðåäíåé äîëãîâå÷-
íîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå E(θ), êîòîðîå áóäåò â
äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàòüñÿ, èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) = 0
ïðè x ≤ 0 è F (x) = 1 − exp{−x/θ}, åñëè x > 0.
   Ìû çàâåðøèì ýòîò ïàðàãðàô ïîñòðîåíèåì åùå îäíîé äèñêðåòíîé ìîäåëè
òåîðèè íàäåæíîñòè, â êîòîðîé ïðîñëåæèâàþòñÿ ïåðâûå, ïîêà åùå î÷åíü
ñìóòíûå, ñâÿçè ïóàññîíîâñêîãî è ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé.
  Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Geo(p). Ïðè ïîñàäêå âîçäóøíîãî ëàé-
íåðà âîçìîæåí ñèëüíûé óäàð î ïîñàäî÷íóþ ïîëîñó, êîòîðûé ìîæåò ïðèâå-
ñòè ê ðàçðóøåíèþ øàññè. Ïóñòü p  âåðîÿòíîñòü ãðóáîé ïîñàäêè; íàñ èíòå-
ðåñóåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàññè íå áóäåò ðàçðóøåíî äî ìîìåíòà t (À 1)
(íàäåæíîñòü øàññè).
   Ñ ïîäîáíîé çàäà÷åé ìû èìåëè äåëî ⠟1 (ïðèìåð 6), êîãäà îïðåäåëÿëè
âåðîÿòíîñòü ïåðâîãî ïîÿâëåíèÿ ãåðáà ïðè n-îì èñïûòàíèè ïðàâèëüíîé ìî-
íåòû (p = 1/2).  äàííîì, áîëåå îáùåì ñëó÷àå åñòåñòâåííî âîñïîëüçîâàòüñÿ
ïðåäïîëîæåíèåì î íåçàâèñèìîñòè ñèòóàöèé, âîçíèêàþùèõ ïðè êàæäîé ïî-
ñàäêå ëàéíåðà. Ïóñòü X  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ
x = 1, 2, . . . , êîòîðûå óêàçûâàþò ìîìåíò ðàçðóøåíèÿ øàññè, òî÷íåå, íîìåð
ïîñàäêè, êîòîðàÿ îêàçàëàñü ãðóáîé. Òîãäà ñîáûòèå X = x ñîñòîèò èç x − 1
áëàãîïîëó÷íûõ ïîñàäîê è ãðóáîé ïîñàäêè ñ íîìåðîì x, îòêóäà íàõîäèì
ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Geo(p):

                   f (x | p) = P (X = x) = (1 − p)x−1 p,
åñëè x ∈ N, è f (x | p) = 0 â îñòàëüíûõ òî÷êàõ âåùåñòâåííîé îñè R.
   Â äèñêðåòíîé ôóíêöèè íàäåæíîñòè
                               ∞
                               X
          H(t) = P (X ≥ t) =         (1 − p)x−1 p = (1 − p)t−1 , t ≥ 1
                               x=t

ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò î÷åâèäíî ìàëûå çíà÷åíèÿ p è áîëü-
øèå çíà÷åíèÿ t. Íàéäåì àñèìïòîòèêó H(t), ïîëîæèâ p = λ/N, t = N x è
óñòðåìèâ N ê áåñêîíå÷íîñòè. Èìååì
                               µ            ¶N x−1
                                      λ
                    H(N x) =       1−                → e−λx .
                                      N
                                       53

Страницы