Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H(t), t ≥ 0
lim
t→0
H(t) = 1, lim
t→∞
H(t) = 0
H(t) = e
−λt
,
λ > 0
c > 0 n ≥ 1
H(nc) = H
n
(c). (3)
H(nc) = H((n−
1)c) + c) = H((n − 1)c)H(c) = H((n − 2)c)H
2
(c) = . . . = H
n
(c).
c > 0 m ≥ 1
H
³
c
m
´
= H
1/m
(c), (4)
H(c) = H(mc/m) = H
m
(c/m).
0 <
H(1) < 1. H(1) = 0,
m ≥ 1 H(1/m) = H
1/m
(1) = 0.
m H
1 = H(0) = lim
m→∞
H(1/m) = 0.
H(1) = 1, n
H(n) = H
n
(1) = 1 lim
n→∞
H(n) = 0.
0 < H(1) < 1 λ > 0,
H(1) = e
−λ
. n m
H(n) = e
−nλ
, H(n/m) = H
1/m
(n) = exp{−nλ/m}.
t.
t
H(t)
t
X,
F (x) = 1 − H(x) = 1 − exp{−λx}
x > 0.
  Ïðåäëîæåíèå 5.2. Åñëè ôóíêöèÿ H(t), t ≥ 0 óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì
óñëîâèÿì limt→0 H(t) = 1, limt→∞ H(t) = 0 è íåïðåðûâíà ñëåâà, òî âñå
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2) èìåþò âèä

                                H(t) = e−λt ,

ãäå λ > 0 ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç óðàâíåíèÿ (2) ëåãêî âûâåñòè, ÷òî äëÿ ëþáîãî
c > 0 è ëþáîãî öåëîãî n ≥ 1 èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

                              H(nc) = H n (c).                             (3)

Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó (2), èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ, ïîëó÷àåì H(nc) = H((n−
1)c) + c) = H((n − 1)c)H(c) = H((n − 2)c)H 2 (c) = . . . = H n (c).
   Äàëåå, äëÿ ëþáûõ c > 0 è öåëîãî m ≥ 1 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                             ³c´
                           H      = H 1/m (c),                             (4)
                              m
êîòîðîå íåìåäëåííî ñëåäóåò èç (3): H(c) = H(mc/m) = H m (c/m).
   Ñîîòíîøåíèÿ (3) è (4) ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü ñòðîãîå íåðàâåíñòâî 0 <
H(1) < 1. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äîïóñòèòü ïðîòèâíîå: H(1) = 0, òî â ñèëó
(4) äëÿ ëþáîãî öåëîãî m ≥ 1 ïîëó÷àåì H(1/m) = H 1/m (1) = 0. Óñòðåì-
ëÿÿ m ê áåñêîíå÷íîñòè è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè H â íóëå,
ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå 1 = H(0) = limm→∞ H(1/m) = 0. Àíàëîãè÷íî,
åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî H(1) = 1, òî, â ñèëó (3), äëÿ ëþáîãî öåëîãî n
H(n) = H n (1) = 1 è, â òî æå âðåìÿ, limn→∞ H(n) = 0.
   Íåðàâåíñòâî 0 < H(1) < 1 îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå λ > 0, ÷òî
H(1) = e−λ . Íî òîãäà, â ñèëó (3) è (4), äëÿ ëþáûõ öåëûõ n è m èìååì
H(n) = e−nλ , H(n/m) = H 1/m (n) = exp{−nλ/m}. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàøå
ïðåäïîëîæåíèå äîêàçàíî äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ t. Ëþáîå äðóãîå çíà÷åíèå
t íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî îöåíèòü ñíèçó ðà-
öèîíàëüíûì ÷èñëîì è çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ íåïðåðûâíîñòüþ ñëåâà H(t)
ïðè ïåðåõîäå â îöåíêå t ê ïðåäåëó.
   Èòàê, ìû íàøëè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, ðå-
àëèçóþùóþ äîëãîâå÷íîñòü èçäåëèÿ, F (x) = 1 − H(x) = 1 − exp{−λx} â
îáëàñòè x > 0. Êàê áóäåò ïîêàçàíî â äàëüíåéøåì, ýòî ðàñïðåäåëåíèå òåñíî


                                      52

Страницы