Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P (X = x) = C
x
n
p
x
(1 − p)
n−x
, x = 0, 1, . . . , n
n p.
n → ∞ p → 0.
n → ∞, p → 0 np = λ (= const),
P {X = x |n, p} −→
λ
x
e
−λ
x!
.
P {X = x |n, p} =
n(n − 1) . . . (n − x + 1)
x!
µ
λ
n
x
µ
1 −
λ
n
n−x
=
µ
1 −
1
n
µ
1 −
2
n
···
µ
1 −
x − 1
n
µ
1 −
λ
n
−x
·
µ
1 −
λ
n
n
λ
x
x!
(1 − λ/n)
n
→ e
−λ
.
P (X = x |λ) =
λ
x
e
−λ
x!
, x = 0, 1, . . . , (1)
P(λ).
f(x |λ) λ (> 0)
λ
x = 0, 1, . . . ,
÷åò âåðîÿòíîñòåé èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà ïî ôîðìóëå

                P (X = x) = Cnx px (1 − p)n−x ,   x = 0, 1, . . . , n

âðÿä ëè âîçìîæåí èç-çà íåïðåîäîëèìûõ òåõíè÷åñêèõ ñëîæíîñòåé, âûçâàí-
íûõ îãðîìíûì çíà÷åíèåì n è íè÷òîæíî ìàëûì çíà÷åíèåì p. Ïîýòîìó âîç-
íèêàåò ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà àñèìïòîòèêè áèíîìèàëüíûõ âåðîÿòíî-
ñòåé, êîãäà n → ∞ è îäíîâðåìåííî p → 0. Ðåøåíèå ïðîáëåìû äàåò
     Ïðåäëîæåíèå 5.1. Åñëè n → ∞, p → 0 è ïðè ýòîì np = λ (= const),
òî
                                              λx e−λ
                          P {X = x | n, p} −→        .
                                                x!

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå áèíîìèàëüíûõ âåðîÿòíîñòåé
ëåãêî ïîëó÷èòü, åñëè ïðåäñòàâèòü èõ â âèäå
                                                     µ ¶x µ      ¶n−x
                           n(n − 1) . . . (n − x + 1) λ        λ
       P {X = x | n, p} =                                   1−        =
                                       x!              n       n
        µ      ¶µ         ¶    µ              ¶µ       ¶−x µ     ¶n x
             1          2              x−1           λ         λ    λ
          1−       1−       ··· 1 −              1−       · 1−
             n          n                 n          n         n    x!
è âîñïîëüçîâàòüñÿ çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì (1 − λ/n)n → e−λ .
   Ýòîò àñèìïòîòè÷åñêèé ðåçóëüòàò âïåðâûå áûë ïîëó÷åí Ïóàññîíîì, è ïî-
ýòîìó ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé
                                    λx e−λ
                    P (X = x | λ) =        , x = 0, 1, . . . ,            (1)
                                      x!
íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà è îáîçíà÷àåòñÿ P(λ). Ïðàâàÿ ÷àñòü
(1) ïðåäñòàâëÿåò íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè
f (x | λ) ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, λ (> 0) íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì èíòåí-
ñèâíîñòè ïîòîêà Ïóàññîíà  â òåðìèíàõ çàäà÷è ñ ðàäèîàêòèâíûì ðàñ-
ïàäîì λ ðàâíî ñðåäíåìó ÷èñëó àòîìîâ, ðàñïàâøèõñÿ çà åäèíèöó âðåìå-
íè. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ðàâíà íóëþ íà îòðèöàòåëüíîé ïî-
ëóîñè, à íà ïîëîæèòåëüíîé âîçðàñòàåò ñêà÷êàìè â öåëî÷èñëåííûõ òî÷êàõ
x = 0, 1, . . . , âåëè÷èíà êîòîðûõ ðàâíà ïðàâîé ÷àñòè (1).
   Òðóäíî ïåðåîöåíèòü çíà÷èìîñòü çàêîíà Ïóàññîíà â ðàçëè÷íûõ ïðîáëå-
ìàõ åñòåñòâîçíàíèÿ. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè ÷èñ-
ëà íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ íà ïðåäïðèÿòèÿõ, ÷èñëà âûçîâîâ íà òåëåôîííîé

                                       49

Страницы