Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X, EX
EX =
X
x∈R
xf(x).
µ = EX,
DX =
X
x∈R
(x − µ)
2
f(x),
X. DX,
σ
2
,
σ =
√
DX X.
f(x), X.
X,
(X).
X, EX, DX (X)
(θ)
[ 0; 1 ]
Öåíòð òÿæåñòè íàãðóæåííîãî ñòåðæíÿ íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû X, îáîçíà÷àåòñÿ EX è âû÷èñëÿåòñÿ êàê
                                   X
                            EX =           xf (x).
                                   x∈R

Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè µ = EX, ðàâíûé
                                X
                         DX =    (x − µ)2 f (x),
                                x∈R

õàðàêòåðèçóåò ìåðó ðàçáðîñà (óäàëåííîñòè) îòäåëüíûõ òî÷åê íàãðóæåíèÿ
îò öåíòðà ìàññ, è ïîýòîìó â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Êðîìå ñòàíäàðòíîãî îáîçíà÷åíèÿ DX, çà âåëè÷è-
íîé äèñïåðñèè çàêðåïëåí
               √         ñèìâîë σ 2 , â òî âðåìÿ êàê êâàäðàòíûé êîðåíü èç
äèñïåðñèè σ = DX íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì X.
   Íåñîìíåííûé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò òàêæå òî÷êà äîñòèæå-
íèÿ ìàêñèìóìà ôóíêöèè f (x), êàê íàèáîëåå âåðîÿòíîãî çíà÷åíèÿ X. Ýòà
òî÷êà íàçûâàåòñÿ ìîäîé ðàñïðåäåëåíèÿ X, è êàê-òî òàê ñëîæèëîñü, ÷òî
ñòàíäàðòíîãî, íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîãî îáîçíà÷åíèÿ ó ýòîé õàðàêòåðè-
ñòèêè íåò, ðàçâå ëèøü mod(X).
   Ìû íå áóäåì òîðîïèòüñÿ ñ ââåäåíèåì äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäå-
ëåíèÿ X, à òàêæå èëëþñòðèðîâàòü âû÷èñëåíèÿ EX, DX è mod(X) íà
êîíêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ, è ñíà÷àëà ïîïûòàåìñÿ ââåñòè àíàëîãè ýòèõ
õàðàêòåðèñòèê äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäå-
ëåíèÿ.
   Ê êëàññó íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðèíàäëåæàò ðàâíîìåðíîå
U(a,b) è ïîêàçàòåëüíîå E(θ) ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðè ïîñòðîåíèè ýòèõ âåðîÿò-
íîñòíûõ ìîäåëåé ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èãðàëà îïðåäåëÿþùóþ ðîëü è
òåîðåìà 4.1 èñïîëüçîâàëàñü ïî ñóùåñòâó.
   Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðÿä
ëè ñòîèò ðàññìàòðèâàòü êàê ñòîëü æå íàãëÿäíóþ èëëþñòðàöèþ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, êàê, íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ïëîòíîñòè (ôóíêöèè
ñêà÷êîâ) ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîãî òèïà. Ýòî çàìå÷àíèå â ðàâíîé ñòåïåíè
îòíîñèòñÿ êàê ê äèñêðåòíîìó, òàê è íåïðåðûâíîìó êëàññó ðàñïðåäåëåíèé.
Ãðàôèêè âîçðàñòàþùèõ ôóíêöèé ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé â èíòåðâàëå [ 0; 1 ]
òàê ïîõîæè äðóã íà äðóãà, ÷òî èõ ãëàâíàÿ ïðèìå÷àòåëüíîñòü  òî÷êè ïå-
ðåãèáà  íà ãëàç îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ïðè âûñîêèõ õóäîæåñòâåííûõ äî-
ñòîèíñòâàõ ãðàôè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ. Äðóãîå äåëî  ïðîèçâîäíàÿ ôóíê-
öèè, ãäå ýòè òî÷êè ïåðåãèáà ïðåâðàùàþòñÿ â òî÷êè ýêñòðåìóìà. Ñ äðóãîé

                                      56

Страницы